Степень с натуральным показателем

Определение

Степень числа $a$ с натуральным показателем $n$ — произведение $n$ одинаковых множителей, каждый из которых равен $a$:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$

$a$ — основание, $n$ — показатель. $a^1 = a$, $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$). Степень — короткая запись многократного умножения: $2^5 = 32$.

Свойства степеней

Свойство	Формула	Пример
Умножение	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$
Деление	$a^m : a^n = a^{m-n}$	$3^5 : 3^2 = 3^3 = 27$
Степень степени	$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	$(2^3)^2 = 2^6 = 64$
Степень произведения	$(ab)^n = a^n \cdot b^n$	$(2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3 = 216$

📌 Умножение — показатели складываются. Деление — вычитаются. Степень степени — перемножаются.

Знаки при возведении в степень

Выражение	Чётный показатель	Нечётный показатель
$(-a)^n$	$(+)$ (минусы группируются в плюсы)	$(-)$ (один минус остаётся)
$-a^n$	$(-)$ (минус снаружи)	$(-)$

$(-2)^4 = 16$, $(-2)^3 = -8$. $-2^4 = -16$ (без скобок возводится только $2$).

Примеры

Пример 1. Упростите $x^4 \cdot x^3 \cdot x^2$.

Дано: $x^4 \cdot x^3 \cdot x^2$.

Формула: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Подстановка: $4 + 3 + 2 = 9$.

Ответ: $x^9$.

Пример 2. Вычислите $\frac{2^5 \cdot 2^3}{2^6}$.

Дано: $\frac{2^5 \cdot 2^3}{2^6}$.

Формула: в числителе сложить показатели, затем вычесть показатель знаменателя.

Подстановка: $2^5 \cdot 2^3 = 2^8$. $\frac{2^8}{2^6} = 2^{8-6} = 2^2 = 4$.

Ответ: $4$.

⚠️ $a^m \cdot a^n \neq a^{m \cdot n}$. Показатели при умножении складываются, а не умножаются. Умножение показателей — только при $(a^m)^n$.