Разложение многочленов на множители

Определение. Разложение на множители

Разложить многочлен на множители — записать его в виде произведения двух или более многочленов (или одночлена и многочлена), тождественно равного исходному.

$P(x) = Q(x) \cdot R(x)$

Вынесение общего множителя за скобки

Если каждый член многочлена содержит общий множитель, его можно вынести за скобки. Это основано на распределительном законе:

$ab + ac = a(b + c)$

💡 Всегда начинай разложение с поиска общего множителя. Даже если планируешь группировку или формулы — сначала проверь, нет ли общего множителя у всех членов.

Алгоритм:

1. Найти НОД всех коэффициентов.
2. Найти общую буквенную часть с наименьшим показателем.
3. Вынести за скобки, разделив каждый член на общий множитель.

Способ группировки

Если общего множителя у всех членов нет, можно сгруппировать члены так, чтобы в каждой группе был свой общий множитель:

$ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)$

⚠️ Важно: после вынесения множителей в группах в скобках должны получиться одинаковые выражения — это и есть «общий множитель-скобка».

Формулы сокращённого умножения

Название	Формула
Разность квадратов	$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Квадрат суммы	$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
Квадрат разности	$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
Сумма кубов	$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Разность кубов	$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

📌 Разность квадратов — самая частая формула. Если видишь два квадрата с минусом между ними — сразу раскладывай: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$, $4a^2 - 25b^2 = (2a - 5b)(2a + 5b)$.

Разложение квадратного трёхчлена

Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Корни находят через дискриминант $D = b^2 - 4ac$ или подбором по теореме Виета.

Примеры задач с решением

Пример 1. Разложите на множители: $3x^3 - 6x^2 + 9x$.

Дано: $3x^3 - 6x^2 + 9x$

Метод: вынесение общего множителя. НОД(3,6,9) = 3, общая буквенная часть $x$.

Решение: $3x(x^2 - 2x + 3)$

Проверка: $3x \cdot x^2 = 3x^3$, $3x \cdot (-2x) = -6x^2$, $3x \cdot 3 = 9x$ ✓

Ответ: $3x(x^2 - 2x + 3)$

Пример 2. Разложите на множители: $2ax + 2bx + 3a + 3b$.

Дано: $2ax + 2bx + 3a + 3b$

Метод: группировка.

Решение: $(2ax + 2bx) + (3a + 3b) = 2x(a + b) + 3(a + b) = (a + b)(2x + 3)$

Ответ: $(a + b)(2x + 3)$

Пример 3. Разложите на множители: $x^2 - 16$.

Дано: $x^2 - 16$

Формула: разность квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Подстановка: $a = x$, $b = 4$

Ответ: $(x - 4)(x + 4)$

Пример 4. Разложите на множители: $x^2 - 5x + 6$.

Дано: $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$

Метод: корни через теорему Виета. $x_1 + x_2 = 5$, $x_1 \cdot x_2 = 6$ → $x_1 = 2$, $x_2 = 3$

Формула: $x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$

Ответ: $(x - 2)(x - 3)$

⚠️ Частая ошибка: вынести общий множитель, но забыть про единицу. $2x + 2 = 2(x + 1)$, а не $2(x)$. Проверяй умножением.