Дроби

Определение. Дробь

Обыкновенная дробь — число вида $\frac{a}{b}$, где $a$ — числитель, $b$ — знаменатель ($b \neq 0$). Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделено целое; числитель — сколько таких долей взято.

Если числитель меньше знаменателя, дробь правильная ($\frac{2}{5}$); если больше или равен — неправильная ($\frac{7}{4}$). Неправильную дробь можно записать как смешанное число: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$.

Десятичные дроби

Десятичная дробь — запись дроби со знаменателем $10$, $100$, $1000$ и т.д. с помощью запятой. Число цифр после запятой равно числу нулей в знаменателе.

Обыкновенная	Десятичная	Как читается
$\frac{1}{2}$	$0{,}5$	Ноль целых пять десятых
$\frac{3}{4}$	$0{,}75$	Ноль целых семьдесят пять сотых
$\frac{2}{5}$	$0{,}4$	Ноль целых четыре десятых
$\frac{1}{8}$	$0{,}125$	Ноль целых сто двадцать пять тысячных

💡 Перевод $\frac{a}{b} \to$ десятичную: раздели $a$ на $b$. Обратно: запиши цифры после запятой в числитель, в знаменатель — $10^n$, где $n$ — число знаков. Сократи, если возможно.

Действия с дробями

Действие	Обыкновенные дроби	Десятичные дроби
Сложение / вычитание	Привести к общему знаменателю	Запятая строго под запятой
Умножение	$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$	Умножить как целые; отделить запятой $m+n$ знаков
Деление	$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$	Перенести запятые вправо на одинаковое число знаков

Сравнение дробей

Обыкновенные — привести к общему знаменателю и сравнить числители. Десятичные — поразрядно слева направо.

Примеры

Пример 1. Сложите $\frac{3}{8} + \frac{5}{12}$.

Дано: $\frac{3}{8}$ и $\frac{5}{12}$.

Формула: привести к общему знаменателю, сложить числители.

Подстановка: НОК$(8, 12) = 24$. $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$, $\frac{5}{12} = \frac{10}{24}$. $9 + 10 = 19$.

Ответ: $\frac{19}{24}$.

Пример 2. Умножьте $2{,}4 \times 3{,}5$.

Дано: $2{,}4$ и $3{,}5$.

Формула: умножить как целые, отделить сумму знаков запятой ($m+n$).

Подстановка: $24 \times 35 = 840$. $1 + 1 = 2$ знака $\to 8{,}40 = 8{,}4$.

Ответ: $8{,}4$.

⚠️ При сложении десятичных дробей не выравнивай по правому краю — запятая должна быть строго под запятой.