Функции и графики

Определение. Функция

Функция — правило, ставящее каждому значению аргумента $x$ единственное значение $y$. Обозначение: $y = f(x)$.

💡 Функция — «машина»: на вход подаёшь $x$, на выходе получаешь $y$. Одному $x$ — ровно один $y$. Если одному $x$ соответствуют два разных $y$ — это не функция.

Линейная функция

$y = kx + b$

График — прямая. Для построения достаточно двух точек.

Параметр	Смысл
$k$ — угловой коэффициент	$k > 0$: прямая возрастает. $k < 0$: убывает. $\vert k \vert$ больше → прямая круче
$b$ — сдвиг	Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; b)$

Частные случаи:

Условие	График
$b = 0$	$y = kx$, прямая через начало координат
$k = 0$	$y = b$, горизонтальная прямая

Обратная пропорциональность

$y = \frac{k}{x}, \quad k \neq 0, \quad x \neq 0$

График — гипербола (две не соприкасающиеся ветви).

$k$	Расположение ветвей
$k > 0$	I и III четверти
$k < 0$	II и IV четверти

📌 $x \neq 0$ — на ноль делить нельзя. Ветви гиперболы бесконечно приближаются к осям, но никогда их не пересекают.

Примеры

Пример 1. Постройте график $y = 2x - 3$.

Дано: $y = 2x - 3$, $k = 2 > 0$ (возрастает), $b = -3$.

Формула: две точки: $x = 0$ и $x = 2$.

Подстановка: $x = 0 \to y = -3$ (точка $(0; -3)$). $x = 2 \to y = 1$ (точка $(2; 1)$). Проводим прямую.

Ответ: прямая, возрастающая, пересекает $Oy$ в $-3$.

Пример 2. Найдите $y = \frac{6}{x}$ при $x = 2$ и $x = -3$.

Дано: $y = \frac{6}{x}$, $x_1 = 2$, $x_2 = -3$.

Формула: подставить $x$.

Подстановка: $y(2) = 3$, $y(-3) = -2$.

Ответ: $(2; 3)$ в I четверти, $(-3; -2)$ в III четверти.

⚠️ У гиперболы $y = k/x$: чем ближе $x$ к нулю, тем дальше $y$ уходит к $\pm\infty$. График никогда не касается осей.