Линейные уравнения

Определение

Линейное уравнение с одной переменной — уравнение вида $ax + b = 0$, где $a \neq 0$. Его решение:

$ax + b = 0 \;\Rightarrow\; x = -\frac{b}{a}$

Корень уравнения — значение $x$, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Алгоритм решения (4 шага)

Шаг	Действие
1. Раскрыть скобки	Распределительный закон
2. Перенести слагаемые	$x$ — влево, числа — вправо, меняя знак
3. Привести подобные	Сложить коэффициенты при $x$, сложить числа
4. Найти $x$	Разделить обе части на коэффициент при $x$

💡 Перенос через «$=$»: $x + 5 = 0 \;\Rightarrow\; x = -5$. Знак меняется на противоположный.

Особые случаи

Ситуация	Результат
$0 \cdot x = 0$	Бесконечно много решений ($x$ — любое)
$0 \cdot x = c$ ($c \neq 0$)	Решений нет

$2x + 3 = 2x + 3 \;\Rightarrow\; 0 = 0$ (верно всегда). $2x + 3 = 2x + 5 \;\Rightarrow\; 0 = 2$ (противоречие).

Примеры

Пример 1. Решите $3(x + 2) = 2x + 10$.

Дано: $3(x + 2) = 2x + 10$.

Формула: раскрыть скобки, перенести, привести подобные.

Подстановка: $3x + 6 = 2x + 10$. $3x - 2x = 10 - 6$. $x = 4$.

Проверка: $3(4 + 2) = 18$, $2 \cdot 4 + 10 = 18$. $18 = 18$ ✓.

Ответ: $x = 4$.

Пример 2. Решите $\frac{x - 3}{2} = \frac{2x + 1}{3}$.

Дано: пропорция $\frac{x - 3}{2} = \frac{2x + 1}{3}$.

Формула: крест-накрест: $3(x - 3) = 2(2x + 1)$.

Подстановка: $3x - 9 = 4x + 2$. $3x - 4x = 2 + 9$. $-x = 11$. $x = -11$.

Проверка: $\frac{-14}{2} = -7$, $\frac{-21}{3} = -7$. ✓.

Ответ: $x = -11$.

⚠️ Всегда делай проверку подстановкой. Десять секунд — и ты уверен, что не ошибся в знаке при переносе.