Одночлены и многочлены

Определение. Одночлен

Одночлен — произведение числового множителя (коэффициента) и букв, взятых в натуральных степенях: $3x^2y$, $-5ab^3$, $7$.

Степень одночлена — сумма показателей всех букв. У $3x^2y$ степень $2 + 1 = 3$. У константы $7$ степень $0$.

Многочлен

Многочлен — сумма одночленов. $3x^2 + 2x - 5$ — трёхчлен степени $2$. Степень многочлена — наибольшая из степеней его членов.

Стандартный вид: члены записаны по убыванию степеней.

💡 Подобные члены — одночлены с одинаковой буквенной частью. Их можно складывать: $5x^2 + 3x^2 = 8x^2$, $2a - 7a = -5a$.

Формулы сокращённого умножения

Название	Формула
Разность квадратов	$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
Квадрат суммы	$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Квадрат разности	$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

📌 Разность квадратов — самая полезная: произведение суммы и разности мгновенно сворачивается в разность квадратов. $(x - 5)(x + 5) = x^2 - 25$.

Умножение многочленов

Каждый член первого умножается на каждый член второго:

$(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

Примеры

Пример 1. Приведите к стандартному виду: $2x^3 - 5x + 7x^3 + 3x - 1$.

Дано: $2x^3 - 5x + 7x^3 + 3x - 1$.

Формула: привести подобные.

Подстановка: $(2x^3 + 7x^3) + (-5x + 3x) - 1 = 9x^3 - 2x - 1$.

Ответ: $9x^3 - 2x - 1$.

Пример 2. Выполните умножение $(2x - 3)(x + 4)$.

Дано: $(2x - 3)(x + 4)$.

Формула: каждый член первого на каждый член второго.

Подстановка: $2x \cdot x = 2x^2$, $2x \cdot 4 = 8x$, $-3 \cdot x = -3x$, $-3 \cdot 4 = -12$. $2x^2 + 8x - 3x - 12 = 2x^2 + 5x - 12$.

Ответ: $2x^2 + 5x - 12$.

⚠️ $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$. Всегда есть $2ab$ посередине! $(3 + 4)^2 = 49$, а $3^2 + 4^2 = 25$. Разница $24$ — это $2 \cdot 3 \cdot 4$.