Отрицательные числа

Определение и координатная прямая

Отрицательные числа — числа, меньшие нуля. На координатной прямой располагаются слева от нуля. Обозначаются знаком «$-$»: $-1$, $-5$, $-0{,}75$.

Модуль числа $|a|$ — расстояние от $a$ до нуля: $|5| = 5$, $|-5| = 5$, $|0| = 0$. Модуль всегда неотрицателен.

Сравнение

Чем левее число на прямой, тем оно меньше:

$-10 < -5 < -1 < 0 < 3$

Из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше: $|-3| = 3$, $|-7| = 7$, $3 < 7 \;\Rightarrow\; -3 > -7$.

Действия

Сложение и вычитание

Ситуация	Правило	Пример
Оба отрицательные	Сложить модули, знак «$-$»	$(-5) + (-3) = -8$
Разные знаки	Из большего модуля вычесть меньший, знак большего	$(-7) + 4 = -3$
Вычитание отрицательного	$a - (-b) = a + b$	$5 - (-2) = 7$

Умножение и деление — правило знаков

Знаки сомножителей	Знак результата	Пример
Одинаковые (+,+ или −,−)	$+$	$(-3)(-4) = 12$
Разные (+,− или −,+)	$-$	$(-3) \cdot 4 = -12$

$(-a) \cdot (-b) = a \cdot b \qquad (-a) \cdot b = -(a \cdot b)$

Примеры

Пример 1. Вычислите $(-12) + 7 - (-5) + (-3)$.

Дано: $(-12) + 7 - (-5) + (-3)$.

Формула: $a - (-b) = a + b$; сложение с разными знаками — вычесть модули, знак большего.

Подстановка: $(-12) + 7 = -5$. $-5 - (-5) = -5 + 5 = 0$. $0 + (-3) = -3$.

Ответ: $-3$.

Пример 2. Вычислите $(-4) \times (-6) \div (-3)$.

Дано: $(-4) \times (-6) \div (-3)$.

Формула: одинаковые знаки → $+$, разные → $-$.

Подстановка: $(-4) \times (-6) = 24$. $24 \div (-3) = -8$.

Ответ: $-8$.

⚠️ $(-3)^2 = 9$, а $-3^2 = -9$. Без скобок возведение в степень действует только на число, минус остаётся перед результатом.