Пропорции

Определение

Пропорция — равенство двух отношений:

$a : b = c : d \quad \iff \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

$a$ и $d$ — крайние члены, $b$ и $c$ — средние члены.

Основное свойство

📌 Произведение крайних членов равно произведению средних.

$a : b = c : d \;\Longrightarrow\; a \cdot d = b \cdot c$

Это свойство — главный инструмент: любой неизвестный член находится перемножением крест-накрест и делением.

Прямая и обратная пропорциональность

Тип	Как ведут себя величины	Формула	Пример
Прямая	Обе растут / обе падают	$\frac{y}{x} = k$	Чем больше товара, тем выше стоимость (цена постоянна)
Обратная	Одна растёт, другая падает	$x \cdot y = k$	Чем выше скорость, тем меньше время (путь постоянен)

В прямой пропорциональности отношение величин неизменно. В обратной — неизменно произведение.

Примеры

Пример 1. Найдите $x$ из пропорции $\frac{x}{8} = \frac{3}{4}$.

Дано: $\frac{x}{8} = \frac{3}{4}$.

Формула: $x \cdot 4 = 8 \cdot 3$ (крест-накрест).

Подстановка: $4x = 24$, $x = 24 \div 4 = 6$.

Ответ: $x = 6$.

Пример 2. Автомобиль проехал $180$ км за $3$ ч. Сколько проедет за $5$ ч?

Дано: $S_1 = 180$ км, $t_1 = 3$ ч, $t_2 = 5$ ч. Скорость постоянна.

Формула: при $v = \text{const}$: $\frac{S_1}{t_1} = \frac{S_2}{t_2}$.

Подстановка: $\frac{180}{3} = \frac{x}{5} \;\Rightarrow\; 3x = 900 \;\Rightarrow\; x = 300$.

Ответ: $300$ км.

⚠️ Перед решением определи тип зависимости: если при увеличении одной величины другая тоже увеличивается — пропорция прямая; если уменьшается — обратная. Ошибка в типе — ошибка во всём решении.