Системы линейных уравнений

Определение

Система двух линейных уравнений с двумя переменными — два уравнения вида:

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$

Решение системы — упорядоченная пара чисел $(x_0, y_0)$, при подстановке которой оба уравнения обращаются в верные числовые равенства.

Решить систему — значит найти все её решения или доказать, что их нет.

Три способа решения

1. Графический способ

Строим график каждого уравнения (прямые). Возможны три случая:

Расположение прямых	Решения
Пересекаются в одной точке	Одно решение (координаты точки)
Параллельны (не совпадают)	Нет решений (противоречивая система)
Совпадают	Бесконечно много решений

2. Способ подстановки

Алгоритм:

1. Выразить одну переменную через другую из любого уравнения.
2. Подставить полученное выражение в другое уравнение — получится уравнение с одной переменной.
3. Решить его.
4. Найти вторую переменную, подставив найденное значение в выражение из шага 1.

3. Способ сложения

Алгоритм:

1. Умножить уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными.
2. Сложить уравнения почленно — одна переменная исключится.
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Подставить найденное значение в любое исходное уравнение и найти вторую переменную.

💡 Выбор способа зависит от системы: если одна переменная уже выражена — подстановка; если коэффициенты удобно уравнять — сложение.

Примеры

Пример 1. Решите систему способом подстановки:

$$\begin{cases} y = 3x - 2 \\ 2x + y = 8 \end{cases}$$

Дано: $y$ уже выражена через $x$ из первого уравнения.

Формула: подстановка $y = 3x - 2$ во второе уравнение.

Подстановка: $2x + (3x - 2) = 8$ → $5x - 2 = 8$ → $5x = 10$ → $x = 2$. Тогда $y = 3 \cdot 2 - 2 = 4$.

Ответ: $(2; 4)$.

Пример 2. Решите систему способом сложения:

$$\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 5x - 2y = 1 \end{cases}$$

Дано: коэффициенты при $y$: $+2$ и $-2$ — уже противоположные.

Формула: сложение уравнений.

Подстановка: $(3x + 2y) + (5x - 2y) = 7 + 1$ → $8x = 8$ → $x = 1$. Подставляем в первое уравнение: $3 \cdot 1 + 2y = 7$ → $2y = 4$ → $y = 2$.

Ответ: $(1; 2)$.

⚠️ После нахождения решения обязательно сделай проверку, подставив $(x, y)$ в оба уравнения!