Степень с целым показателем

Степень с отрицательным показателем, свойства, стандартный вид числа.

Степень с целым показателем

Определение степени с целым показателем

Для $a \neq 0$ и натурального $n$ :

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Нулевая степень: $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$ ).

Таким образом степень определена для любого целого показателя: положительного, отрицательного и нуля.

Свойства степеней (для любых целых показателей)

Свойство	Формула
Умножение степеней	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Деление степеней	$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
Степень степени	$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
Степень произведения	$(ab)^n = a^n b^n$
Степень частного	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$

📌 Все пять свойств работают одинаково для положительных, нулевых и отрицательных показателей.

Стандартный вид числа

Стандартный вид — запись числа в форме $a \times 10^n$ , где $1 \le a < 10$ , а $n$ — целое число.

Число	Стандартный вид
$3\,000\,000$	$3 \times 10^6$
$0{,}00045$	$4{,}5 \times 10^{-4}$
$150\,000\,000$ (расстояние до Солнца, км)	$1{,}5 \times 10^8$
$0{,}0000001$ (толщина плёнки, мм)	$1 \times 10^{-7}$

Примеры задач с решением

Пример 1. Упростить $2^{-3} \cdot 2^5$ .

Дано: $2^{-3} \cdot 2^5$

Формула: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Подстановка: $2^{-3 + 5} = 2^2 = 4$

Ответ: $4$ .

Пример 2. Записать $0{,}00045$ в стандартном виде.

Дано: $0{,}00045$

Формула: перемещаем запятую до первой значащей цифры, считаем шаги

Подстановка: запятая сдвигается на 4 знака вправо → $n = -4$ , $a = 4{,}5$

Ответ: $4{,}5 \times 10^{-4}$ .

Примеры вопросов из тренажёра

Q: Чему равно a⁻ⁿ (a ≠ 0)?

A: верный ответ — 1/aⁿ

Объяснение: Степень с отрицательным показателем: a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0). Свойства степеней те же, что и для натурального показателя.
Q: Какое условие выполняется для коэффициента a в стандартном виде числа a × 10ⁿ?

A: верный ответ — 1 ≤ a < 10

Объяснение: Стандартный вид числа: a × 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10, n — целое число. Используется для записи очень больших и очень маленьких чисел: 0,00035 = 3,5 × 10⁻⁴.
Q: Чему равно (ab)ⁿ?

A: верный ответ — aⁿ × bⁿ

Объяснение: Свойство степени произведения: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Все свойства степеней (умножение, деление, степень в степени) работают для любых целых показателей n.
Q: Чему равно 2⁻³?

A: верный ответ — 1/8

Объяснение: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. Отрицательный показатель означает обратную величину от степени с положительным показателем.
Q: Как записать число 0,00072 в стандартном виде?

A: верный ответ — 7,2 × 10⁻⁴

Объяснение: 0,00072 = 7,2 × 10⁻⁴. Сдвигаем запятую на 4 знака вправо → 7,2, тогда n = -4. Проверка: 7,2 × 10⁻⁴ = 7,2 × 0,0001 = 0,00072.

Пройти тему «Степень с целым показателем» в приложении