Неравенства с квадратом

Определение. Неравенство

Линейное неравенство — неравенство вида $ax + b > 0$ (или $<$, $\ge$, $\le$). Решается так же, как уравнение, но с одним правилом:

⚠️ При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Пример: $-2x > 6$ → делим на $-2$ → $x < -3$.

Квадратные неравенства и метод интервалов

Квадратное неравенство, например $x^2 - 9 > 0$, решается методом интервалов:

1. Находим корни уравнения $x^2 - 9 = 0$: $x_1 = -3$, $x_2 = 3$.
2. Отмечаем корни на числовой прямой. Они разбивают прямую на интервалы.
3. Определяем знак выражения на каждом интервале (подстановкой проверочной точки).
4. Выбираем интервалы с нужным знаком.

$x^2 - 9 > 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$

Числовая прямая и система неравенств

Решение системы неравенств — пересечение решений каждого:

$\begin{cases} x > 2 \\ x \le 5 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad 2 < x \le 5$

Тип решения	Обозначение	Пример
Интервал	$(a; b)$	$2 < x < 5$
Отрезок	$[a; b]$	$2 \le x \le 5$
Объединение	$\cup$	$x < -3$ или $x > 3$

Примеры задач с решением

Пример 1. Решить неравенство $x^2 - 9 > 0$.

Дано: $x^2 - 9 > 0$

Формула: раскладываем на множители: $(x - 3)(x + 3) > 0$

Подстановка: корни $x = 3$ и $x = -3$. Интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$, $(3; +\infty)$. Проверка: при $x = 0$: $(-3)(3) = -9 < 0$ — не подходит. При $x = 4$: $(1)(7) = 7 > 0$ — подходит.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

Пример 2. Решить неравенство $(x - 2)(x + 3) \le 0$.

Дано: корни $x = 2$ и $x = -3$

Формула: метод интервалов, квадратичная функция с положительным старшим коэффициентом

Подстановка: знаки на интервалах: $(+)$ слева от $-3$, $(-)$ между $-3$ и $2$, $(+)$ справа от $2$. Берём интервал, где $\le 0$.

Ответ: $x \in [-3; 2]$.