Обратная пропорциональность. Функция y = k/x

Определение

Обратной пропорциональностью называется функция вида $y = \frac{k}{x}$, где $x$ — независимая переменная, $k$ — число, не равное нулю ($k \neq 0$).

Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ — все числа, кроме нуля.

Название: величины $x$ и $y$ обратно пропорциональны, если их произведение постоянно: $xy = k$. При увеличении $x$ в $n$ раз $y$ уменьшается в $n$ раз.

График — гипербола

График функции $y = \frac{k}{x}$ — гипербола, состоящая из двух ветвей. Ветви симметричны относительно начала координат.

Свойства гиперболы

Свойство	k > 0	k < 0
Четверти	I и III	II и IV
Монотонность	Убывает на $(-\infty;0)$ и $(0;+\infty)$	Возрастает на $(-\infty;0)$ и $(0;+\infty)$
Знаки	$y$ и $x$ одного знака	$y$ и $x$ разных знаков

Асимптоты

Асимптота — прямая, к которой график неограниченно приближается, но никогда её не пересекает.

• Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось $Oy$) — график не определён при $x = 0$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось $Ox$) — при $x \to \pm\infty$ значение $y \to 0$.

Свойства функции y = k/x

1. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$
2. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$
3. Функция нечётная: $y(-x) = -y(x)$ — график симметричен относительно начала координат
4. Нулей функции нет (гипербола не пересекает ось $Ox$)
5. Промежутки знакопостоянства: при $k > 0$: $y > 0$ при $x > 0$, $y < 0$ при $x < 0$; при $k < 0$ — наоборот

Практический смысл

Обратная пропорциональность встречается повсюду:

• $v = S/t$ — скорость и время при постоянном пути
• $P = A/t$ — мощность и время при постоянной работе
• $I = U/R$ — сила тока и сопротивление при постоянном напряжении

Примеры

Пример 1. Постройте график функции $y = \frac{3}{x}$.

Дано: $k = 3 > 0$, значит ветви в I и III четвертях.

Таблица точек: $x = 1, y = 3$; $x = 3, y = 1$; $x = 0.5, y = 6$; $x = -1, y = -3$; $x = -3, y = -1$.

Ответ: Гипербола с асимптотами $x = 0$ и $y = 0$, ветви в I и III четвертях, функция убывает.

Пример 2. Автомобиль проезжает 240 км. Запишите формулу зависимости времени $t$ (ч) от скорости $v$ (км/ч). Найдите время при скорости 80 км/ч.

Дано: $S = 240$ км, $t = S/v$.

Подстановка: $t = 240 / v$. При $v = 80$: $t = 240 / 80 = 3$ ч.

Ответ: 3 часа.

⚠️ Не путай обратную пропорциональность ($y = k/x$) с прямой ($y = kx$) — в первом случае с ростом $x$ значение $y$ убывает!