Квадратные уравнения

Квадратные уравнения, дискриминант, формула корней, теорема Виета.

Квадратные уравнения

Определение

Квадратное уравнение — уравнение вида

$ax^2 + bx + c = 0$

где $a \neq 0$ , $a$ — первый (старший) коэффициент, $b$ — второй коэффициент, $c$ — свободный член.

Если $a = 1$ , уравнение называется приведённым: $x^2 + px + q = 0$ .

Дискриминант и формула корней

Дискриминант — главный инструмент для решения:

$D = b^2 - 4ac$

Формула корней:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Значение $D$	Количество корней	Геометрический смысл
$D > 0$	Два различных корня	Парабола пересекает ось $x$ в двух точках
$D = 0$	Один корень (кратности 2)	Парабола касается оси $x$
$D < 0$	Нет действительных корней	Парабола не пересекает ось $x$

Теорема Виета

Для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$ :

$x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = q$

💡 Теорема Виета позволяет подбирать корни устно, без вычисления дискриминанта.

Примеры задач с решением

Пример 1. Решить уравнение $x^2 + 5x + 6 = 0$ .

Дано: $a = 1$ , $b = 5$ , $c = 6$

Формула: $D = b^2 - 4ac$

Подстановка: $D = 25 - 24 = 1$ , $\sqrt{D} = 1$ ; $x = \frac{-5 \pm 1}{2}$

Ответ: $x_1 = -2$ , $x_2 = -3$ .

Пример 2. Решить уравнение $x^2 - 4x + 4 = 0$ .

Дано: $D = 16 - 16 = 0$

Формула: $x = \frac{-b}{2a}$

Подстановка: $x = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $x = 2$ (единственный корень).

Примеры вопросов из тренажёра

Q: Как выглядит квадратное уравнение в общем виде?

A: верный ответ — ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Объяснение: Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. a — первый коэффициент, b — второй, c — свободный член. Решается через дискриминант D = b² - 4ac.
Q: Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант D < 0?

A: верный ответ — Корней нет

Объяснение: Дискриминант D = b² - 4ac определяет количество корней: D > 0 — 2 корня, D = 0 — 1 корень, D < 0 — нет корней (среди действительных чисел). Формула корней: x = (-b ± √D) / (2a).
Q: Что утверждает теорема Виета для уравнения x² + px + q = 0?

A: верный ответ — x₁ + x₂ = -p, x₁ × x₂ = q

Объяснение: Теорема Виета: для приведённого уравнения x² + px + q = 0 сумма корней x₁ + x₂ = -p, произведение x₁ × x₂ = q. Позволяет находить корни устно, без вычисления дискриминанта.
Q: По какой формуле находится корень квадратного уравнения, если D = 0?

A: верный ответ — x = -b / (2a)

Объяснение: При D = 0 квадратное уравнение имеет единственный корень: x = -b/(2a). Оба корня совпадают, говорят «корень кратности 2».
Q: Вычислите дискриминант уравнения x² - 5x + 6 = 0.

A: верный ответ — 1

Объяснение: D = b² - 4ac = (-5)² - 4·1·6 = 25 - 24 = 1. Так как D > 0, уравнение имеет два корня: x₁ = 3, x₂ = 2.

Пройти тему «Квадратные уравнения» в приложении