Квадратичная функция и её график

Определение

Квадратичная функция — функция вида

$y = ax^2 + bx + c$

где $a \neq 0$. График квадратичной функции — парабола.

• Если $a > 0$ — ветви параболы направлены вверх, функция имеет минимум.
• Если $a < 0$ — ветви направлены вниз, функция имеет максимум.

Коэффициент $c$ определяет точку пересечения с осью $Oy$: $(0; c)$.

Вершина параболы

Вершина — самая нижняя (при $a > 0$) или самая верхняя (при $a < 0$) точка параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a}, \qquad y_0 = f(x_0)$

Ось симметрии — вертикальная прямая $x = x_0$, проходящая через вершину. Парабола симметрична относительно этой прямой.

Нули функции

Нули функции — точки пересечения графика с осью $Ox$, где $y = 0$. Находятся решением уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

Значение $D$	Количество нулей	График
$D > 0$	Два нуля	Пересекает ось $Ox$ в двух точках
$D = 0$	Один нуль	Касается оси $Ox$ (вершина на оси)
$D < 0$	Нет нулей	Не пересекает ось $Ox$

Алгоритм построения графика

1. Определить направление ветвей (по знаку $a$).
2. Найти координаты вершины $x_0 = -b/(2a)$, $y_0$.
3. Найти нули функции (если есть).
4. Найти точку пересечения с $Oy$: $(0; c)$.
5. Построить дополнительные точки, используя симметрию относительно оси $x = x_0$.

Примеры задач с решением

Пример 1. Постройте график функции $y = x^2 - 4x + 3$ и найдите её нули.

Дано: $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$. Ветви вверх ($a > 0$).

Вершина: $x_0 = \frac{4}{2 \cdot 1} = 2$, $y_0 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина $(2; -1)$.

Нули: $D = 16 - 12 = 4$, $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Точки $(1;0)$ и $(3;0)$.

Ответ: Парабола с вершиной $(2;-1)$, нулями в точках $x=1$ и $x=3$, пересекает $Oy$ в $(0;3)$.

Пример 2. Найдите вершину параболы $y = -2x^2 + 8x - 5$.

Дано: $a = -2$, $b = 8$, $c = -5$. Ветви вниз ($a < 0$).

Формула: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

Подстановка: $x_0 = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$, $y_0 = -8 + 16 - 5 = 3$

Ответ: Вершина $(2; 3)$ — точка максимума.