Рациональные выражения

Определение. Рациональная дробь

Рациональная дробь — отношение двух многочленов:

$\frac{P(x)}{Q(x)}$

где $Q(x) \neq 0$. Область определения — все $x$, при которых знаменатель не обращается в ноль.

⚠️ Всегда записывай ограничения: $x \neq$ корни знаменателя. Без этого преобразование может быть некорректным.

Сокращение дробей

Чтобы сократить рациональную дробь, нужно разложить числитель и знаменатель на множители и разделить на общий множитель:

$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 \quad (x \neq 2)$

Действия с дробями

Операция	Правило
Сложение/вычитание	Привести к общему знаменателю, сложить числители
Умножение	Перемножить числители и знаменатели
Деление	Умножить на обратную дробь

$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}$

$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC}$

Примеры задач с решением

Пример 1. Сократить дробь $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Дано: $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$, $x \neq 2$

Формула: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Подстановка: $\dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$

Ответ: $x + 2$ при $x \neq 2$.

Пример 2. Выполнить сложение $\dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{x - 1}$.

Дано: $\dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{x - 1}$, $x \neq \pm 1$

Формула: общий знаменатель $(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$

Подстановка: $\dfrac{(x - 1) + (x + 1)}{x^2 - 1} = \dfrac{2x}{x^2 - 1}$

Ответ: $\dfrac{2x}{x^2 - 1}$ при $x \neq \pm 1$.