Квадратные корни

Определение. Квадратный корень

Арифметический квадратный корень из числа $a$ — это неотрицательное число $b$, квадрат которого равен $a$.

$\sqrt{a} = b \quad \text{тогда и только тогда, когда} \quad b^2 = a,\; b \ge 0$

Например: $\sqrt{25} = 5$, потому что $5^2 = 25$. $\sqrt{0} = 0$, $\sqrt{1} = 1$.

📌 Важно: под корнем может стоять только неотрицательное число: $a \ge 0$. Выражение $\sqrt{-4}$ не имеет смысла среди действительных чисел.

Следствие из определения: $(\sqrt{a})^2 = a$ (для $a \ge 0$) и $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль!).

Свойства квадратных корней

Операция	Формула	Условие
Корень из произведения	$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$	$a \ge 0,\; b \ge 0$
Корень из частного	$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$	$a \ge 0,\; b > 0$
Возведение в квадрат	$(\sqrt{a})^2 = a$	$a \ge 0$
Вынесение множителя	$\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}$	$a \ge 0,\; b \ge 0$

Избавление от иррациональности в знаменателе

Если в знаменателе дроби стоит корень, его можно «убрать» домножением:

$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$

$\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b}$

Примеры задач с решением

Пример 1. Вычислить $\sqrt{144}$.

Дано: $\sqrt{144}$

Формула: $\sqrt{a} = b$, где $b^2 = a$

Подстановка: $12^2 = 144$

Ответ: $\sqrt{144} = 12$.

Пример 2. Упростить выражение $\sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8}$.

Дано: $\sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8}$

Формула: выносим множители из-под корня: $\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}$

Подстановка: $\sqrt{25 \cdot 2} + \sqrt{9 \cdot 2} - \sqrt{4 \cdot 2} = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Ответ: $6\sqrt{2}$.