Системы уравнений

Определение

Система уравнений — несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно. Решение системы двух уравнений с двумя переменными — пара чисел $(x; y)$, удовлетворяющая каждому уравнению.

$\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 4 \end{cases}$

Метод подстановки

1. Выразить одну переменную через другую из любого уравнения.
2. Подставить полученное выражение во второе уравнение.
3. Решить уравнение с одной переменной.
4. Найти вторую переменную.

Метод сложения (исключения)

1. Умножить уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными.
2. Сложить уравнения — одна переменная исключается.
3. Решить полученное уравнение.
4. Подставить найденное значение в любое исходное уравнение.

Типы систем

Тип	Условие	Геометрический смысл
Единственное решение	$\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$	Прямые пересекаются в одной точке
Бесконечно много решений	$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$	Прямые совпадают
Нет решений	$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$	Прямые параллельны

💡 Графический смысл: каждое уравнение — прямая на плоскости. Решение системы — точка пересечения прямых.

Примеры задач с решением

Пример 1. Решить систему методом подстановки.

$\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 4 \end{cases}$

Дано: первое уравнение: $x + 2y = 5$; второе: $3x - y = 4$

Формула: из первого: $x = 5 - 2y$

Подстановка: во второе: $3(5 - 2y) - y = 4$ → $15 - 6y - y = 4$ → $-7y = -11$ → $y = \frac{11}{7}$; $x = 5 - \frac{22}{7} = \frac{13}{7}$

Ответ: $\left(\dfrac{13}{7}; \dfrac{11}{7}\right)$.

Пример 2. Решить систему методом сложения.

$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$

Дано: коэффициенты при $y$ — $1$ и $-1$

Формула: складываем уравнения: $(2x + y) + (3x - y) = 7 + 3$

Подстановка: $5x = 10$ → $x = 2$; $4 + y = 7$ → $y = 3$

Ответ: $(2; 3)$.