Арифметическая прогрессия

Определение арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия — числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $d$.

$a_{n+1} = a_n + d$

Число $d$ называется разностью арифметической прогрессии:

$d = a_{n+1} - a_n$

Если $d > 0$, прогрессия возрастает. Если $d < 0$, убывает. Если $d = 0$, все члены равны (постоянная последовательность).

Формула n-го члена

Чтобы найти любой член прогрессии, зная первый член $a_1$ и разность $d$, используют формулу:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Формула суммы n первых членов

Сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии можно найти двумя способами:

Через первый и $n$-й члены:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Через первый член и разность:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Примеры задач с решением

Пример 1. Дана арифметическая прогрессия: $a_1 = 3$, $d = 2$. Найдите $a_5$ и $S_5$.

Дано: $a_1 = 3$, $d = 2$, $n = 5$

Формула: $a_n = a_1 + (n-1)d$, $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подстановка: $a_5 = 3 + 4 \cdot 2 = 3 + 8 = 11$; $S_5 = \dfrac{3 + 11}{2} \cdot 5 = \dfrac{14}{2} \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35$

Ответ: $a_5 = 11$, $S_5 = 35$. Прогрессия: 3, 5, 7, 9, 11.

Пример 2. Дана арифметическая прогрессия: $a_1 = 5$, $d = 3$. Найдите $a_6$ и $S_6$.

Дано: $a_1 = 5$, $d = 3$, $n = 6$

Формула: $a_n = a_1 + (n-1)d$, $S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Подстановка: $a_6 = 5 + 5 \cdot 3 = 5 + 15 = 20$; $S_6 = \dfrac{2 \cdot 5 + 5 \cdot 3}{2} \cdot 6 = \dfrac{10 + 15}{2} \cdot 6 = \dfrac{25}{2} \cdot 6 = 12{,}5 \cdot 6 = 75$

Ответ: $a_6 = 20$, $S_6 = 75$. Прогрессия: 5, 8, 11, 14, 17, 20.

Важно!

⚠️ Не путайте формулу n-го члена арифметической прогрессии ($a_n = a_1 + (n-1)d$) с формулой геометрической прогрессии ($b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$). В арифметической — сложение разности, в геометрической — умножение на знаменатель. Также помните: $n$ в формуле — это номер члена, поэтому для 5-го члена подставляем $n = 5$, а множитель при $d$ получается $n - 1 = 4$.