Биквадратные уравнения. Решение уравнений третьей и четвёртой степеней разложением на множители

Определение

Биквадратное уравнение — уравнение вида

$ax^4 + bx^2 + c = 0$

где $a \neq 0$, $a$, $b$, $c$ — действительные числа. В нём присутствуют только чётные степени переменной: $x^4$ и $x^2$.

Метод замены переменной

Биквадратное уравнение сводится к квадратному заменой

$t = x^2, \quad t \ge 0$

Тогда $x^4 = (x^2)^2 = t^2$, и уравнение принимает вид

$at^2 + bt + c = 0$

Алгоритм решения

1. Выполнить замену $t = x^2$.
2. Решить квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$ относительно $t$.
3. Для каждого неотрицательного корня $t$ решить уравнение $x^2 = t$:
   • $t > 0$: два корня $x = \pm\sqrt{t}$;
   • $t = 0$: один корень $x = 0$.
4. Отрицательные корни $t$ отбрасываются — они не дают действительных корней для $x$.

Количество корней

Количество действительных корней биквадратного уравнения зависит от корней $t$:

• оба корня $t < 0$ — корней нет;
• один корень $t \ge 0$ — два корня для $x$;
• оба корня $t > 0$ — четыре корня для $x$.

Решение уравнений третьей и четвёртой степеней разложением на множители

Уравнения вида $x^3 + px^2 + qx + r = 0$ и уравнения четвёртой степени часто решают разложением на множители:

• группировка слагаемых и вынесение общего множителя;
• применение формул сокращённого умножения (разность квадратов, разность/сумма кубов);
• использование того, что произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.

Примеры задач с решением

Пример 1. Решить уравнение $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

Дано: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Формула: замена $t = x^2$; $t^2 - 5t + 4 = 0$

Подстановка: $D = 25 - 16 = 9$; $t = \dfrac{5 \pm 3}{2}$ → $t_1 = 4$, $t_2 = 1$. Тогда $x^2 = 4$ → $x = \pm 2$; $x^2 = 1$ → $x = \pm 1$. Проверка разложением: $x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = 0$.

Ответ: $x = \pm 1$, $x = \pm 2$ (четыре корня).

Пример 2. Решить уравнение $x^4 + 2x^2 - 8 = 0$.

Дано: $x^4 + 2x^2 - 8 = 0$

Формула: замена $t = x^2$; $t^2 + 2t - 8 = 0$

Подстановка: $D = 4 + 32 = 36$; $t = \dfrac{-2 \pm 6}{2}$ → $t_1 = 2$, $t_2 = -4$. Корень $t = -4 < 0$ отбрасываем. Из $x^2 = 2$ получаем $x = \pm\sqrt{2}$.

Ответ: $x = \pm\sqrt{2}$ (одна пара действительных корней).

Пример 3. Решить уравнение $x^3 - x^2 - x + 1 = 0$ разложением на множители.

Дано: $x^3 - x^2 - x + 1 = 0$

Формула: группировка: $x^2(x - 1) - 1(x - 1) = (x - 1)(x^2 - 1)$

Подстановка: $(x - 1)(x^2 - 1) = (x - 1)(x - 1)(x + 1) = (x - 1)^2(x + 1) = 0$. Произведение равно нулю при $x - 1 = 0$ или $x + 1 = 0$.

Ответ: $x = 1$ (двукратный корень), $x = -1$.

Важно!

• Биквадратное уравнение содержит только чётные степени $x$ — это признак, что работает замена $t = x^2$.
• После нахождения $t$ обязательно решают $x^2 = t$ — забыть этот шаг самая частая ошибка.
• Отрицательный корень $t$ не даёт действительных корней для $x$ и отбрасывается.
• Уравнение четвёртой степени может иметь 0, 2 или 4 действительных корня — но не 1 и не 3.
• При разложении на множители произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.