Функции и их графики: повторение

Определение функции

Функция — правило $f$, которое каждому значению $x$ из области определения ставит в соответствие единственное значение $y = f(x)$. $x$ — аргумент, $y$ — значение функции.

Область определения $D(f)$ — все $x$, при которых функция определена. Область значений $E(f)$ — все возможные $y$.

Линейная функция

$y = kx + b$

• График: прямая линия.
• $D(f) = \mathbb{R}$, $E(f) = \mathbb{R}$.
• $k$ — угловой коэффициент: $k > 0$ — функция возрастает, $k < 0$ — убывает, $k = 0$ — прямая $y = b$ (параллельна оси $x$).
• $b$ — точка пересечения с осью $y$.

Квадратичная функция

$y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0$

• График: парабола.
• $D(f) = \mathbb{R}$.
• Вершина параболы: $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$, $y_0 = a x_0^2 + b x_0 + c$.
• Ось симметрии: $x = x_0$.
• Ветви: $a > 0$ — вверх, $a < 0$ — вниз.
• $E(f) = [y_0; +\infty)$ при $a > 0$; $E(f) = (-\infty; y_0]$ при $a < 0$.

Обратная пропорциональность

$y = \frac{k}{x}, \quad k \neq 0$

• График: гипербола (две ветви).
• $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$, $E(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
• $k > 0$ — ветви в I и III четвертях; $k < 0$ — во II и IV.
• Асимптоты: $x = 0$ (вертикальная), $y = 0$ (горизонтальная).

Функция квадратного корня

$y = \sqrt{x}$

• График: ветвь параболы (лежачая, в первой четверти).
• $D(f) = [0; +\infty)$, $E(f) = [0; +\infty)$.
• Функция монотонно возрастает.

Функция модуля

$y = |x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$

• График: V-образная линия (угол с вершиной в начале координат).
• $D(f) = \mathbb{R}$, $E(f) = [0; +\infty)$.
• Чётная функция: $|{-x}| = |x|$.

Преобразования графиков

Пусть $y = f(x)$ — исходный график. Тогда:

Преобразование	Формула	Смысл
Вертикальный сдвиг	$y = f(x) + a$	На $a$ вверх / вниз
Горизонтальный сдвиг	$y = f(x - a)$	На $a$ вправо / влево
Растяжение/сжатие по $y$	$y = k f(x)$	В $k$ раз по вертикали
Растяжение/сжатие по $x$	$y = f(kx)$	В $1/k$ раз по горизонтали
Отражение по $x$	$y = -f(x)$	Симметрия относительно оси $x$
Отражение по $y$	$y = f(-x)$	Симметрия относительно оси $y$

Примеры задач с решением

Пример 1. Определить по графику вид функции: прямая проходит через точки $(0; 3)$ и $(2; 7)$.

Дано: точки $(0; 3)$ и $(2; 7)$

Формула: $y = kx + b$, $b = y(0)$, $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Подстановка: $b = 3$, $k = \frac{7 - 3}{2 - 0} = 2$

Ответ: $y = 2x + 3$.

Пример 2. Найти вершину параболы $y = x^2 - 6x + 5$.

Дано: $y = x^2 - 6x + 5$, $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$

Формула: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

Подстановка: $x_0 = -\frac{-6}{2} = 3$, $y_0 = 9 - 18 + 5 = -4$

Ответ: вершина $(3; -4)$.

Пример 3. Построить график $y = \sqrt{x - 1} + 2$.

Дано: $y = \sqrt{x - 1} + 2$

Формула: $y = \sqrt{x}$ смещается на 1 вправо и на 2 вверх

Подстановка: $D(f) = [1; +\infty)$, $E(f) = [2; +\infty)$; начальная точка $(1; 2)$

Ответ: график $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 1 вправо и на 2 вверх.

Важно!

⚠️ Не путайте область определения и область значений. У $y = \sqrt{x}$ нельзя подставлять $x < 0$. У $y = k/x$ нельзя $x = 0$. Всегда проверяйте, при каких $x$ выражение имеет смысл!