Геометрическая прогрессия

Определение

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число $q$, называемое знаменателем прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

где $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель, $n$ — номер члена.

Знаменатель прогрессии

Знаменатель $q$ определяется как отношение последующего члена к предыдущему:

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

Свойства знаменателя:

• $q > 0$ — все члены одного знака (знакопостоянная прогрессия);
• $q < 0$ — члены чередуют знак (знакочередующаяся прогрессия);
• $q = 1$ — все члены равны $b_1$ (постоянная последовательность);
• $|q| < 1$ — члены убывают по модулю;
• $|q| > 1$ — члены возрастают по модулю.

Сумма n членов

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии для $q \neq 1$:

$S_n = b_1 \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$

Эквивалентная форма:

$S_n = b_1 \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$

Если $q = 1$, сумма $n$ членов равна $S_n = n \cdot b_1$.

Бесконечная убывающая прогрессия

Если $|q| < 1$, геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. При $n \to \infty$ член $q^{n} \to 0$, поэтому сумма стремится к конечному пределу:

$S = \frac{b_1}{1 - q}, \quad |q| < 1$

При $|q| \geq 1$ сумма бесконечной прогрессии не существует (расходится).

Примеры задач с решением

Пример 1. Найти пятый член геометрической прогрессии $2, 6, 18, 54, \dots$

Дано: $b_1 = 2$, $q = 3$, $n = 5$

Формула: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Подстановка: $b_5 = 2 \cdot 3^{4} = 2 \cdot 81 = 162$

Ответ: $b_5 = 162$.

Пример 2. Найти сумму первых четырёх членов прогрессии $3, -6, 12, -24, \dots$

Дано: $b_1 = 3$, $q = -2$, $n = 4$

Формула: $S_n = b_1 \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$

Подстановка: $S_4 = 3 \cdot \frac{(-2)^4 - 1}{-2 - 1} = 3 \cdot \frac{16 - 1}{-3} = 3 \cdot \frac{15}{-3} = -15$

Ответ: $S_4 = -15$.

Пример 3. Найти сумму бесконечной прогрессии $8, 4, 2, 1, \dots$

Дано: $b_1 = 8$, $q = \frac{1}{2} = 0.5$, $|q| = 0.5 < 1$

Формула: $S = \frac{b_1}{1 - q}$

Подстановка: $S = \frac{8}{1 - 0.5} = \frac{8}{0.5} = 16$

Ответ: $S = 16$.

Важно!

⚠️ Условие сходимости: сумма бесконечной геометрической прогрессии существует только при $|q| < 1$. Если $|q| \geq 1$, ряд расходится — сумма неограниченно растёт или не имеет предела. Не путайте формулу суммы $n$ членов (конечная сумма, работает для любого $q \neq 1$) с формулой суммы бесконечной прогрессии (только при $|q| < 1$).