Тождественные преобразования выражений

Определение

Тождественные преобразования — замена одного алгебраического выражения другим, тождественно равным ему. Два выражения называются тождественно равными, если они принимают одинаковые значения при всех допустимых значениях переменных.

К основным видам тождественных преобразований относятся:

• приведение подобных слагаемых;
• раскрытие скобок;
• разложение на множители;
• применение формул сокращённого умножения;
• преобразование рациональных дробей.

Формулы сокращённого умножения

Квадрат суммы и разности

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Разность квадратов

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

Сумма и разность кубов

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Куб суммы и разности

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Разложение на множители

Основные методы:

1. Вынесение общего множителя за скобки: $ab + ac = a(b + c)$
2. Группировка: $ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) = (a + b)(c + d)$
3. По формулам сокращённого умножения
4. Разложение квадратного трёхчлена: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Преобразование рациональных выражений

Рациональное выражение — дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены. Упрощение выполняется путём разложения на множители и сокращения:

$\frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = x - 2, \quad x \neq -2$

Примеры задач с решением

Пример 1. Упростить выражение: $(x + 3)^2 - (x - 3)^2$.

Дано: $(x + 3)^2 - (x - 3)^2$

Формула: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$, где $a = x + 3$, $b = x - 3$

Подстановка: $(x + 3)^2 - (x - 3)^2 = ((x + 3) + (x - 3))((x + 3) - (x - 3)) = (2x)(6) = 12x$

Ответ: $12x$.

Пример 2. Разложить на множители: $x^3 + 27$.

Дано: $x^3 + 27$

Формула: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Подстановка: $x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$

Ответ: $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$.

Пример 3. Упростить рациональное выражение: $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}$.

Дано: $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}$, $x \neq \pm 2$

Формула: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$; $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Подстановка: $\frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 3}{x + 2}$

Ответ: $\frac{x - 3}{x + 2}$, $x \neq \pm 2$.

Обозначения

Символ	Значение
$a, b$	Переменные или выражения
$a^n$	$a$ в степени $n$
$(a \pm b)^2$	Квадрат суммы/разности
$a^3 \pm b^3$	Сумма/разность кубов

Важно!

⚠️ Не путайте $(a + b)^2$ и $a^2 + b^2$: квадрат суммы не равен сумме квадратов! $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ — средний член $2ab$ обязателен. Аналогично, $a^3 + b^3 \neq (a + b)^3$.