Метод интервалов

Определение (метод интервалов)

Метод интервалов — способ решения рациональных неравенств вида

$\frac{P(x)}{Q(x)} > 0, \quad \frac{P(x)}{Q(x)} < 0, \quad \frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0, \quad \frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0$

где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены. Метод основан на том, что непрерывная функция меняет знак только при переходе через свои нули (корни числителя) и точки разрыва (корни знаменателя).

Решение неравенств методом интервалов

Нуль функции — значение $x$, при котором числитель или знаменатель обращается в ноль. Нули числителя — точки возможной смены знака; нули знаменателя — точки разрыва (исключаются из ответа).

Правило чередования знаков: при переходе через корень нечётной кратности знак меняется; при переходе через корень чётной кратности знак сохраняется.

Алгоритм

1. Привести неравенство к виду $\frac{P(x)}{Q(x)} \triangleright 0$ (перенести всё в левую часть, привести к общему знаменателю).
2. Разложить $P(x)$ и $Q(x)$ на множители.
3. Найти нули числителя и знаменателя.
4. Отметить их на числовой прямой в порядке возрастания.
   • Для строгих неравенств ($>$, $<$) все точки выколотые.
   • Для нестрогих ($\geq$, $\leq$) нули числителя — закрашенные, нули знаменателя — выколотые.
5. Определить знак на каждом интервале (подставить пробную точку или использовать правило чередования, начиная с крайнего правого интервала).
6. Записать ответ в виде объединения интервалов.

Примеры

Пример 1. Решить неравенство $(x - 2)(x + 3) > 0$.

Дано: $(x - 2)(x + 3) > 0$

Формула: нули: $x = 2$, $x = -3$ (оба нечётной кратности 1)

Подстановка: отмечаем на прямой: $(-\infty, -3)$, $(-3, 2)$, $(2, \infty)$. Берём $x = 0$: $(0-2)(0+3) = -6 < 0$ — на среднем интервале знак минус. Чередуем: $+$, $-$, $+$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; \infty)$.

Пример 2. Решить неравенство $\frac{x - 1}{x + 2} \leq 0$.

Дано: $\frac{x - 1}{x + 2} \leq 0$

Формула: нуль числителя $x = 1$ (закрашенная, так как $\leq$), нуль знаменателя $x = -2$ (выколотая)

Подстановка: интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1]$, $[1, \infty)$. Берём $x = 0$: $\frac{0-1}{0+2} = -\frac12 < 0$ — на среднем интервале минус. Чередуем: $+$, $-$, $+$.

Ответ: $x \in (-2; 1]$.

Пример 3. Решить неравенство $(x - 1)^2 (x + 2) \geq 0$.

Дано: $(x - 1)^2 (x + 2) \geq 0$

Формула: нули: $x = 1$ (кратность 2 — чётная), $x = -2$ (кратность 1 — нечётная)

Подстановка: интервалы: $(-\infty, -2]$, $[-2, 1]$, $[1, \infty)$. Берём $x = 0$: $(0-1)^2(0+2) = 2 > 0$ — на среднем интервале плюс. При переходе через $x = -2$ знак меняется (нечётная кратность): $-$ на $(-\infty, -2)$. При переходе через $x = 1$ знак не меняется (чётная кратность).

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup \{1\} \cup [1; \infty)$ или $x \in (-\infty; -2] \cup [1; \infty)$.

Важно!

💡 Ключевые моменты:

• Нули знаменателя всегда исключаются из ответа (даже для нестрогих неравенств).
• Кратность корня определяется степенью множителя: $(x - a)^k$ — кратность $k$.
• Если множитель — полный квадрат $(x - a)^2$, знак при переходе не меняется.
• Начинать определение знаков удобнее с крайнего правого интервала: знак совпадает со знаком старшего коэффициента.