Числовые последовательности

Определение

Числовая последовательность — функция $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, заданная на множестве натуральных чисел. Обозначается $\{a_n\}$ или $(a_n)$, где $a_n$ — $n$-й член последовательности.

Примеры: $a_n = 2n$ даёт $2, 4, 6, 8, \dots$; $a_n = (-1)^n$ даёт $-1, 1, -1, 1, \dots$

Последовательность считается заданной, если указано правило, по которому каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие число $a_n$.

Способы задания последовательности

Существует три основных способа:

1. Явная формула (аналитический способ): $a_n = f(n)$. Например, $a_n = \frac{n}{n+1}$.

2. Рекуррентное отношение: каждый следующий член выражается через предыдущие. Например, $a_1 = 1$, $a_n = a_{n-1} + 2$.

3. Словесное описание: «простые числа в порядке возрастания» — $2, 3, 5, 7, 11, \dots$

Рекуррентные отношения

Рекуррентная формула вида $a_n = f(a_{n-1}, a_{n-2}, \dots)$ задаёт последовательность через её предыдущие члены. Для однозначного задания необходимо указать начальные условия ($a_1$, $a_2$ и т.д.).

Пример: $a_1 = 1$, $a_n = 3a_{n-1} + 1$: $a_1 = 1,\; a_2 = 4,\; a_3 = 13,\; a_4 = 40,\; a_5 = 121, \dots$

Монотонность

Последовательность называется:

• Монотонно возрастающей, если $a_n < a_{n+1}$ для всех $n$. Пример: $a_n = n^2$: $1, 4, 9, 16, \dots$

• Монотонно убывающей, если $a_n > a_{n+1}$ для всех $n$. Пример: $a_n = \frac{1}{n}$: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$

• Немонотонной, если условие монотонности не выполняется. Пример: $a_n = (-1)^n$: $-1, 1, -1, 1, \dots$

Ограниченные и неограниченные последовательности

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число $M$, что $|a_n| \leq M$ для всех $n$.

Если такого $M$ не существует, последовательность неограниченная.

Примеры:

• $a_n = \frac{1}{n}$ ограничена: $0 < a_n \leq 1$, $M = 1$.
• $a_n = n^2$ неограничена.
• $a_n = \sin n$ ограничена: $-1 \leq a_n \leq 1$, $M = 1$.

Примеры из арифметической и геометрической прогрессий

Арифметическая прогрессия — частный случай последовательности, заданной рекуррентно: $a_1 = b$, $a_n = a_{n-1} + d$. Явная формула: $a_n = b + (n-1)d$.

Геометрическая прогрессия — ещё один частный случай: $b_1 = c$, $b_n = b_{n-1} \cdot q$. Явная формула: $b_n = c \cdot q^{n-1}$.

Обе прогрессии — «кирпичики» для понимания более сложных последовательностей.

Примеры задач с решением

Пример 1. Последовательность задана формулой $a_n = 2n - 1$. Найти первые пять членов.

Дано: $a_n = 2n - 1$, $n = 1, 2, 3, 4, 5$

Подстановка: $a_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$; $a_2 = 2 \cdot 2 - 1 = 3$; $a_3 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$; $a_4 = 2 \cdot 4 - 1 = 7$; $a_5 = 2 \cdot 5 - 1 = 9$

Ответ: $1, 3, 5, 7, 9$.

Пример 2. Последовательность задана рекуррентно: $a_1 = 1$, $a_n = a_{n-1} + 2$. Найти $a_5$.

Дано: $a_1 = 1$, $a_n = a_{n-1} + 2$

Подстановка: $a_2 = 1 + 2 = 3$; $a_3 = 3 + 2 = 5$; $a_4 = 5 + 2 = 7$; $a_5 = 7 + 2 = 9$

Ответ: $a_5 = 9$. Это арифметическая прогрессия с $d = 2$.

Пример 3. Определить, является ли последовательность $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ монотонной и ограниченной.

Дано: $a_n = \frac{1}{n}$, $n = 1, 2, 3, \dots$

Анализ монотонности: $\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}$ для всех $n$ — последовательность монотонно убывает.

Анализ ограниченности: $0 < \frac{1}{n} \leq 1$ для всех $n$, значит $|a_n| \leq 1$. Последовательность ограничена.

Ответ: последовательность монотонно убывающая и ограниченная ($0 < a_n \leq 1$).

Важно!

💡 Связь понятий: числовые последовательности — это фундамент для изучения пределов, рядов и непрерывности в старших классах и вузе. Арифметическая и геометрическая прогрессии — лишь два простейших вида последовательностей. Любая прогрессия — это последовательность, но не любая последовательность — прогрессия. Не путайте эти понятия.