Повторение и подготовка к ОГЭ (алгебра)

Определение. Алгебраический обзор

Алгебра 9 класса объединяет несколько ключевых разделов: квадратичная функция и её график, арифметическая и геометрическая прогрессии, неравенства и системы неравенств, системы уравнений, тождественные преобразования. В ОГЭ все эти темы проверяются как в первой части (краткий ответ), так и во второй (развёрнутое решение).

Формула. Квадратичная функция

Общий вид:

$y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0$

Вершина параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a}, \quad y_0 = y(x_0)$

Нули функции (пересечение с осью $x$): решаем $ax^2 + bx + c = 0$ через дискриминант.

Ось симметрии: $x = x_0$.

Направление ветвей: $a > 0$ — вверх, $a < 0$ — вниз.

Формула. Арифметическая прогрессия

Разность: $d = a_{n+1} - a_n$

Формула $n$-го члена: $a_n = a_1 + d(n - 1)$

Сумма $n$ первых членов:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$

Формула. Геометрическая прогрессия

Знаменатель: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

Формула $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Сумма $n$ первых членов ($q \neq 1$):

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Формула. Квадратные неравенства

Метод интервалов:

1. Привести к виду $(x - x_1)(x - x_2) > 0$ (или $< 0$, $\geq 0$, $\leq 0$).
2. Отметить корни на числовой прямой.
3. Определить знаки на интервалах (чередование, если нет кратных корней).
4. Выбрать интервалы с нужным знаком.

Пример: $x^2 - 5x + 6 > 0 \rightarrow (x - 2)(x - 3) > 0 \rightarrow x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$.

Формула. Системы уравнений

Методы решения:

• Подстановка: выразить одну переменную через другую и подставить во второе уравнение.
• Сложение: уравнять коэффициенты при одной переменной и сложить/вычесть уравнения.

Пример 1. ОГЭ, часть 2 — комбинированная задача

Дана арифметическая прогрессия: $a_1 = 5$, $a_3 = 11$. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии, у которой $b_1 = a_5$, а знаменатель $q = a_2 - a_1$.

Дано: $a_1 = 5$, $a_3 = 11$. $b_1 = a_5$, $q = a_2 - a_1$.

Формула: $a_n = a_1 + d(n-1)$; $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подстановка: $a_3 = a_1 + 2d \rightarrow 11 = 5 + 2d \rightarrow d = 3$. $a_2 = 5 + 3 = 8$. $a_5 = 5 + 3 \cdot 4 = 17$. $b_1 = 17$, $q = 8 - 5 = 3$. $S_{10} = \frac{17(3^{10} - 1)}{3 - 1} = \frac{17(59049 - 1)}{2} = \frac{17 \cdot 59048}{2} = 17 \cdot 29524 = 501908$.

Ответ: $S_{10} = 501908$.

Пример 2. ОГЭ, часть 2 — система и квадратичная функция

Решите систему уравнений: $\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$. Найдите координаты точек пересечения параболы $y = x^2 - 5x + 6$ с осями координат.

Дано: система $\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$; функция $y = x^2 - 5x + 6$.

Формула: теорема Виета: $x^2 - 5x + 6 = 0$; пересечение с $Ox$: $y = 0$; с $Oy$: $x = 0$.

Подстановка: Из системы: числа, сумма которых 5, а произведение 6 — это 2 и 3. $(2; 3)$ и $(3; 2)$. Для параболы: $x^2 - 5x + 6 = 0 \rightarrow x_1 = 2, x_2 = 3$. Точки пересечения с $Ox$: $(2; 0)$ и $(3; 0)$. С $Oy$: $x = 0 \rightarrow y = 6$, точка $(0; 6)$.

Ответ: решения системы: $(2; 3)$ и $(3; 2)$. Точки пересечения параболы с осями: $(2; 0)$, $(3; 0)$, $(0; 6)$.

Важно!

⚠️ В ОГЭ часть 2 требуют полного развёрнутого решения. Недостаточно просто написать ответ — нужно показать все шаги: формулы, подстановки, преобразования.

⚠️ В задачах на прогрессии внимательно читайте, что дано: $a_n$ (член) или $S_n$ (сумма). Не путайте номер члена с его значением.

⚠️ В квадратных неравенствах не забывайте про знак неравенства: строгий ($>$, $<$) даёт выколотые точки, нестрогий ($\geq$, $\leq$) — закрашенные.