График квадратичной функции. Парабола

Определение

Парабола — график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$). Это кривая, симметричная относительно вертикальной прямой — оси симметрии.

Вершинная форма

Любую квадратичную функцию можно записать в вершинной форме:

$y = a(x - h)^2 + k$

где $(h; k)$ — вершина параболы. Связь со стандартной формой:

$h = -\frac{b}{2a}, \quad k = c - \frac{b^2}{4a}$

Преобразования базовой параболы $y = x^2$

График $y = a(x - h)^2 + k$ получается из $y = x^2$ последовательными преобразованиями:

Преобразование	Условие	Результат
Растяжение/сжатие	$	a
Отражение	$a < 0$	Парабола переворачивается
Сдвиг по $x$	$h > 0$ — вправо, $h < 0$ — влево	Вершина смещается по $Ox$
Сдвиг по $y$	$k > 0$ — вверх, $k < 0$ — вниз	Вершина смещается по $Oy$

Алгоритм построения графика

1. Найти вершину $(x_0; y_0)$ по формуле $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
2. Провести ось симметрии $x = x_0$.
3. Вычислить нули функции (если $D \geq 0$).
4. Взять 2–3 точки слева от вершины, найти симметричные справа.
5. Отметить точки на координатной плоскости и соединить плавной линией.

Примеры графиков

Базовые параболы:

• $y = x^2$: вершина $(0; 0)$, ветви вверх
• $y = 2x^2$: уже базовой, вершина $(0; 0)$
• $y = \frac{1}{2}x^2$: шире базовой, вершина $(0; 0)$
• $y = -x^2$: ветви вниз, вершина $(0; 0)$

Примеры задач с решением

Пример 1. Построить график функции $y = x^2 - 4x + 3$.

Дано: $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$

Формула: $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$, $y_0 = c - \dfrac{b^2}{4a}$

Подстановка: $x_0 = \dfrac{4}{2} = 2$; $y_0 = 3 - \dfrac{16}{4} = 3 - 4 = -1$; $D = 16 - 12 = 4$, нули: $x = \dfrac{4 \pm 2}{2} = 1,\;3$

Ответ: Вершина $(2; -1)$, нули $x = 1$ и $x = 3$, ось $x = 2$. Точки: $(0; 3)$, $(1; 0)$, $(2; -1)$, $(3; 0)$, $(4; 3)$.

Пример 2. Записать функцию $y = 2x^2 + 8x + 5$ в вершинной форме.

Дано: $a = 2$, $b = 8$, $c = 5$

Формула: $h = -\dfrac{b}{2a}$, $k = c - \dfrac{b^2}{4a}$

Подстановка: $h = -\dfrac{8}{4} = -2$; $k = 5 - \dfrac{64}{8} = 5 - 8 = -3$

Ответ: $y = 2(x + 2)^2 - 3$, вершина $(-2; -3)$.

Важно!

• При $a > 0$ парабола «улыбается», при $a < 0$ — «грустит». Это самый простой способ проверить правильность построения.
• Не путайте знак $h$ в вершинной форме: $y = a(x - h)^2 + k$. Если $h = -2$, то в скобках $(x + 2)$.
• Для построения достаточно 5–7 точек. Не нужно вычислять десятки значений.