Степенная функция. Корень n-й степени

Определение

Степенная функция — функция вида

$y = x^n$

где $n$ — натуральное число, $n \geq 2$. От показателя $n$ зависят область определения, область значений и форма графика.

Корнем $n$-й степени из числа $x$ называется такое число $y$, что $y^n = x$:

$\sqrt[n]{x} = y \iff y^n = x$

Число $n$ называется показателем корня, $x$ — подкоренным выражением.

Свойства степенной функции

Показатель $n$	Область определения	Область значений	Особенности
Чётный ($2, 4, 6, \dots$)	$\mathbb{R}$	$y \geq 0$	График симметричен относительно оси $y$; функция чётная
Нечётный ($3, 5, 7, \dots$)	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	График проходит через начало координат; функция нечётная

Область определения корня n-й степени

Если показатель корня $n$ чётный, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x \geq 0$

Если $n$ нечётный, корень определён для любого действительного числа:

$x \in \mathbb{R}$

Свойство корня и степени

Для любого $x$ (с учётом области определения):

$\sqrt[n]{x^n} = \begin{cases} |x|, & n \text{ чётное} \\ x, & n \text{ нечётное} \end{cases}$

💡 Чётный корень «съедает» минус: $\sqrt[4]{(-2)^4} = \sqrt[4]{16} = 2 = |-2|$. Нечётный корень минус сохраняет: $\sqrt[3]{(-2)^3} = -2$.

Примеры задач с решением

Пример 1. Найти значение степенной функции $y = x^4$ в точке $x = -2$.

Дано: $y = x^4$, $x = -2$, $n = 4$ (чётное)

Формула: $y = x^n$

Подстановка: $y = (-2)^4 = 16$

Ответ: $y = 16$.

Пример 2. Вычислить $\sqrt[3]{-64}$.

Дано: $\sqrt[3]{-64}$, $n = 3$ (нечётный)

Формула: $\sqrt[n]{x} = y \iff y^n = x$

Подстановка: $(-4)^3 = -64$

Ответ: $\sqrt[3]{-64} = -4$.

Пример 3. Найти область определения $\sqrt[4]{x - 5}$.

Дано: $\sqrt[4]{x - 5}$, $n = 4$ (чётное)

Формула: $x - 5 \geq 0$ (подкоренное выражение неотрицательно)

Подстановка: $x \geq 5$

Ответ: $x \in [5; +\infty)$.

Пример 4. Упростить $\sqrt[5]{a^5}$.

Дано: $\sqrt[5]{a^5}$, $n = 5$ (нечётный)

Формула: $\sqrt[n]{x^n} = x$ при нечётном $n$

Подстановка: $\sqrt[5]{a^5} = a$ для любого $a \in \mathbb{R}$

Ответ: $\sqrt[5]{a^5} = a$.

Важно!

• Чётный корень из отрицательного числа не существует среди действительных чисел.
• $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ при чётном $n$ — модуль обязателен.
• Степенная функция $y = x^n$ при чётном $n$ принимает только неотрицательные значения.
• При $n = 2$ получаем квадратичную функцию и квадратный корень — частные случаи степенной функции и корня $n$-й степени.