Квадратичная функция: свойства

Определение

Квадратичная функция — функция вида

$y = ax^2 + bx + c$

где $a \neq 0$, $a$, $b$, $c$ — действительные числа. График квадратичной функции — парабола.

Коэффициент $a$ определяет направление ветвей: $a > 0$ — ветви вверх, $a < 0$ — ветви вниз. Коэффициент $c$ — точка пересечения с осью $Oy$: $(0; c)$.

Область определения

Область определения квадратичной функции — все действительные числа:

$D(y) = \mathbb{R}$

Вершина параболы

Вершина — точка экстремума (минимума или максимума) параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a}, \quad y_0 = c - \frac{b^2}{4a} = -\frac{D}{4a}$

Ось симметрии параболы проходит через вершину: $x = x_0$.

Область значений

Область значений зависит от знака $a$:

• $a > 0$: $E(y) = [y_0; +\infty)$ — ветви вверх, минимум в вершине
• $a < 0$: $E(y) = (-\infty; y_0]$ — ветви вниз, максимум в вершине

Монотонность

Промежутки возрастания и убывания:

• $a > 0$: убывает на $(-\infty; x_0]$, возрастает на $[x_0; +\infty)$
• $a < 0$: возрастает на $(-\infty; x_0]$, убывает на $[x_0; +\infty)$

Нули функции

Нули функции — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$D = b^2 - 4ac$

• $D > 0$: два нуля $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
• $D = 0$: один нуль $x = -\dfrac{b}{2a}$
• $D < 0$: нулей нет

Примеры задач с решением

Пример 1. Найти вершину, ось симметрии и область значений функции $y = 2x^2 - 8x + 5$.

Дано: $a = 2$, $b = -8$, $c = 5$

Формула: $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$, $y_0 = c - \dfrac{b^2}{4a}$

Подстановка: $x_0 = -\dfrac{-8}{2 \cdot 2} = \dfrac{8}{4} = 2$; $y_0 = 5 - \dfrac{64}{8} = 5 - 8 = -3$

Ответ: Вершина $(2; -3)$, ось симметрии $x = 2$, $E(y) = [-3; +\infty)$.

Пример 2. Определить количество нулей функции $y = -x^2 + 4x - 5$.

Дано: $a = -1$, $b = 4$, $c = -5$

Формула: $D = b^2 - 4ac$

Подстановка: $D = 16 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 16 - 20 = -4 < 0$

Ответ: Нулей нет, парабола не пересекает ось $Ox$.

Важно!

• Коэффициент $a$ нельзя путать со свободным членом $c$ — они отвечают за разные свойства графика.
• Вершина вычисляется строго по формуле $x_0 = -b/(2a)$, не забывайте знак «минус».
• Область значений всегда записывается относительно $y_0$: либо «не меньше», либо «не больше».