Квадратные неравенства

Определение

Квадратным неравенством называется неравенство вида

$ax^2 + bx + c > 0$

где $a \neq 0$. Вместо $>$ могут быть знаки $<$, $\geq$, $\leq$.

Решить квадратное неравенство — значит найти все значения $x$, при которых квадратный трёхчлен принимает нужный знак.

Алгоритм решения через параболу

1. Найти корни квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c = 0$ через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
2. Определить направление ветвей параболы: $a > 0$ — ветви вверх, $a < 0$ — ветви вниз.
3. Отметить корни на числовой прямой и определить знаки на каждом интервале.
4. Выбрать интервалы, удовлетворяющие знаку неравенства.

Три случая в зависимости от D

Дискриминант	Корни	Решение $ax^2 + bx + c > 0$ при $a > 0$
$D > 0$	Два различных корня $x_1 < x_2$	$(-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty)$
$D = 0$	Один корень $x_0$	$(-\infty; x_0) \cup (x_0; +\infty)$ (все $x \neq x_0$)
$D < 0$	Нет корней	$(-\infty; +\infty)$ (все числа)

💡 Если $a < 0$, знаки меняются на противоположные. Например, если $a < 0$ и $D > 0$: решение $ax^2 + bx + c > 0$ — интервал между корнями.

Важно!

• При $D < 0$ и $a > 0$ квадратный трёхчлен всегда положителен — неравенство $> 0$ верно для всех $x$, а $< 0$ не имеет решений.
• При $D < 0$ и $a < 0$ квадратный трёхчлен всегда отрицателен — неравенство $< 0$ верно для всех $x$, а $> 0$ не имеет решений.
• Не забывай про строгие ($>$, $<$) и нестрогие ($\geq$, $\leq$) неравенства: при нестрогих неравенствах корни включаются в ответ (квадратные скобки).

Примеры задач с решением

Пример 1. Решить неравенство $x^2 - x - 6 > 0$.

Дано: $x^2 - x - 6 > 0$, $a = 1 > 0$

Формула: $D = b^2 - 4ac$, $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Подстановка: $D = 1 + 24 = 25$, $\sqrt{D} = 5$; $x = \frac{1 \pm 5}{2}$; $x_1 = -2$, $x_2 = 3$

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$.

Пример 2. Решить неравенство $x^2 - 4x + 4 \leq 0$.

Дано: $x^2 - 4x + 4 \leq 0$, $a = 1 > 0$

Формула: $D = b^2 - 4ac$

Подстановка: $D = 16 - 16 = 0$; $x_0 = \frac{4}{2} = 2$. Ветви вверх, парабола касается оси, других точек нет

Ответ: $x = 2$ (единственная точка, где трёхчлен равен нулю, — это и есть решение неравенства $\leq 0$).

Пример 3. Решить неравенство $x^2 + x + 1 > 0$.

Дано: $x^2 + x + 1 > 0$, $a = 1 > 0$

Формула: $D = b^2 - 4ac$

Подстановка: $D = 1 - 4 = -3 < 0$. Корней нет, ветви вверх — парабола полностью выше оси $x$

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$ (неравенство верно для любого $x$).