Действительные числа, приближённое значение величины, точность приближения

Определение

Действительные (вещественные) числа — это все числа, которые можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. Множество действительных чисел обозначают $\mathbb{R}$.

Действительные числа делятся на два класса:

• Рациональные числа — числа вида $\dfrac{p}{q}$, где $p$, $q$ — целые, $q \neq 0$. Их десятичная запись конечна или бесконечна периодична. Примеры: $0,5 = \dfrac{1}{2}$, $1/3 = 0,333\ldots$, $7 = 7,000\ldots$
• Иррациональные числа — числа, которые нельзя записать как дробь $\dfrac{p}{q}$. Их десятичная запись бесконечна и непериодична. Примеры: $\sqrt{2} = 1,41421356\ldots$, $\pi = 3,14159265\ldots$

Приближённое значение величины

Если точное значение величины $x$ неизвестно или его запись бесконечна, используют приближённое значение $a$. Говорят, что $a$ приближает $x$ с точностью до $h$, если

$|x - a| \le h$

Это означает, что точное значение $x$ лежит в промежутке

$a - h \le x \le a + h$

Число $h$ называют границей погрешности (абсолютной погрешности). Чем меньше $h$, тем точнее приближение.

Округление

Округление — замена числа ближайшим числом с меньшим числом значащих цифр. Стандартное правило:

• если цифра следующего разряда ≥ 5, цифру сохраняемого разряда увеличивают на 1;
• если цифра следующего разряда < 5, цифру сохраняемого разряда оставляют без изменения;
• все цифры после сохраняемого разряда отбрасывают.

Округление вверх (с избытком) и вниз (с недостатком) используют, когда нужна гарантированная оценка с одной стороны.

Значащие цифры

Значащие цифры — все цифры числа, кроме нулей слева. Например, в числе $0,00340$ значащие цифры: $3$, $4$, $0$ (последний ноль значим). Округление до $n$ значащих цифр оставляет первые $n$ значащих цифр.

Оценка результата вычислений

Оценка (прикидка) — быстрое приближённое вычисление, при котором числа округляют до старших разрядов, чтобы получить порядок результата. Оценка позволяет:

• проверить правдоподобность точного ответа;
• быстро сравнить величины;
• прикинуть результат «в уме» до точного вычисления.

Примеры задач с решением

Пример 1. Приблизить $\sqrt{2}$ с точностью до $0,01$ (до двух знаков после запятой) и указать границы.

Дано: $x = \sqrt{2} = 1,41421356\ldots$

Формула: округление до сотых; границы $a - h \le x \le a + h$

Подстановка: $\sqrt{2} \approx 1,41$; $1,41^2 = 1,9881 < 2$, $1,42^2 = 2,0164 > 2$

Ответ: $\sqrt{2} \approx 1,41$ с точностью до $0,01$; нижняя граница $1,41$, верхняя $1,42$, то есть $1,41 < \sqrt{2} < 1,42$.

Пример 2. Округлить число $7,3456$ до целых, до десятых, до сотых и до тысячных.

Дано: $x = 7,3456$

Формула: стандартное правило округления

Подстановка: до целых — десятые $3 < 5$ → $7$; до десятых — сотые $4 < 5$ → $7,3$; до сотых — тысячные $5 \ge 5$ → $7,35$; до тысячных — десятитысячные $6 \ge 5$ → $7,346$

Ответ: $7$; $7,3$; $7,35$; $7,346$.

Пример 3. Оценить произведение $198 \times 49$, округлив множители.

Дано: $198 \times 49$

Формула: округление до старших разрядов и умножение

Подстановка: $198 \approx 200$, $49 \approx 50$; $200 \times 50 = 10000$

Ответ: оценка $198 \times 49 \approx 10000$. Точное значение $198 \times 49 = 9702$ — близко к оценке, значит результат правдоподобен.

Важно!

• Рациональное число всегда имеет конечную или периодическую десятичную запись; иррациональное — бесконечную непериодическую.
• Приближение с точностью до $h$ означает, что точное значение лежит в промежутке шириной $2h$.
• При округлении решает только цифра следующего разряда: $\ge 5$ — вверх, $< 5$ — вниз.
• Округление — не то же самое, что отбрасывание (усечение): $7,39$ при усечении до десятых даёт $7,3$, а при округлении — $7,4$.
• Оценка не заменяет точный расчёт, но помогает проверить его правдоподобность.