Системы уравнений с двумя переменными

Определение (система уравнений)

Система уравнений — два или более уравнения, которые должны выполняться одновременно. Решение системы — упорядоченная пара чисел $(x; y)$, обращающая каждое уравнение в верное равенство.

$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$

Методы решения

Подстановка

1. Выразить одну переменную через другую из любого уравнения.
2. Подставить полученное выражение во второе уравнение.
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Найти вторую переменную подстановкой найденного значения.
5. Выполнить проверку.

Исключение (сложение)

1. Умножить уравнения на такие множители, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными.
2. Сложить уравнения — одна переменная исключается.
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Найти вторую переменную подстановкой.
5. Выполнить проверку.

Графический метод

Построить графики обоих уравнений в одной системе координат. Координаты точек пересечения — решения системы.

• Прямые пересекаются → одно решение.
• Прямые параллельны → нет решений.
• Прямые совпадают → бесконечно много решений.

Примеры

Пример 1. Решить систему методом подстановки.

$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Дано: $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Формула: выразим $x$ из первого: $x = 5 - y$

Подстановка: $(5 - y) - y = 1 \Rightarrow 5 - 2y = 1 \Rightarrow -2y = -4 \Rightarrow y = 2$; $x = 5 - 2 = 3$

Ответ: $(3; 2)$. Проверка: $3 + 2 = 5$, $3 - 2 = 1$ — верно.

Пример 2. Решить систему методом сложения.

$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 3x - 2y = 4 \end{cases}$

Дано: $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 3x - 2y = 4 \end{cases}$

Формула: умножим первое на $2$, второе на $3$: $\begin{cases} 4x + 6y = 14 \\ 9x - 6y = 12 \end{cases}$

Подстановка: складываем: $13x = 26 \Rightarrow x = 2$; $2 \cdot 2 + 3y = 7 \Rightarrow 4 + 3y = 7 \Rightarrow y = 1$

Ответ: $(2; 1)$. Проверка: $4 + 3 = 7$, $6 - 2 = 4$ — верно.

Пример 3. Решить систему (линейное + квадратное).

$\begin{cases} y = x + 1 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}$

Дано: $\begin{cases} y = x + 1 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}$

Формула: подставим $y = x + 1$ во второе: $x^2 + (x + 1)^2 = 25$

Подстановка: $x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25 \Rightarrow 2x^2 + 2x - 24 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 12 = 0$; $D = 1 + 48 = 49$, $x_1 = 3$, $x_2 = -4$; $y_1 = 4$, $y_2 = -3$

Ответ: $(3; 4)$ и $(-4; -3)$. Проверка: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$, $(-4)^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$ — верно.

Важно!

💡 Ключевые моменты:

• Всегда проверяй найденное решение подстановкой в оба исходных уравнения.
• При решении линейно-квадратичной системы может получиться до двух решений.
• Если после подстановки получилось противоречие ($0 = 5$), система не имеет решений.
• Если получилось тождество ($0 = 0$), система имеет бесконечно много решений.