Системы неравенств

Определение системы неравенств

Система неравенств — это два или более неравенств с одной и той же переменной. Решить систему — значит найти все значения переменной, которые удовлетворяют каждому неравенству одновременно.

Записывается системой (фигурная скобка):

$$\begin{cases} f_1(x) > 0, \\ f_2(x) < 0 \end{cases}$$

Решение системы — пересечение решений каждого неравенства. Если пересечения нет, система не имеет решений.

Решение системы неравенств

Алгоритм:

1. Решить каждое неравенство по отдельности.
2. Отметить решения на числовой прямой.
3. Найти пересечение промежутков (общую часть).
4. Записать ответ в виде интервала.

Обозначения на числовой прямой:

• Строгое неравенство $<$, $>$ — пустой кружок, скобка круглaя $( \;)$.
• Нестрогое неравенство $\leq$, $\geq$ — закрашенный кружок, скобка квадратная $[\;]$.

Примеры решения систем неравенств

Пример 1. Решить систему:

$$\begin{cases} 2x - 3 > 1, \\ 3x - 2 < 10 \end{cases}$$

Дано: $2x - 3 > 1$, $3x - 2 < 10$

Формула: решаем каждое неравенство: $2x > 4$, $3x < 12$

Подстановка: $x > 2$, $x < 4$. На прямой отмечаем промежутки $(2; +\infty)$ и $(-\infty; 4)$ — пересечение $(2; 4)$.

Ответ: $2 < x < 4$, или $(2; 4)$.

Пример 2. Решить систему:

$$\begin{cases} 2x + 1 \geq 3, \\ 4x - 7 < 5 \end{cases}$$

Дано: $2x + 1 \geq 3$, $4x - 7 < 5$

Формула: $2x \geq 2$, $4x < 12$

Подстановка: $x \geq 1$, $x < 3$. Первое неравенство даёт $[1; +\infty)$, второе — $(-\infty; 3)$. Пересечение: $[1; 3)$.

Ответ: $1 \leq x < 3$, или $[1; 3)$.

Важно!

⚠️ Самая частая ошибка — путать «пересечение» и «объединение». В системе неравенств нужно пересечение (общая часть), а не объединение. Если решаете совокупность неравенств (квадратная скобка) — там объединение. Внимательно смотрите на скобку!