Текстовые задачи (движение, работа, проценты)

Определение. Текстовая задача

Текстовая задача — задача, в которой требуется по словесному описанию реальной ситуации составить уравнение (или систему уравнений) и решить его. В ОГЭ встречаются три основных типа: задачи на движение, на совместную работу и на проценты.

Формула. Движение

Основная формула:

$s = v \cdot t$

где $s$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время.

Движение по течению и против течения:

$v_{\text{по теч}} = v_{\text{соб}} + v_{\text{теч}}, \quad v_{\text{против}} = v_{\text{соб}} - v_{\text{теч}}$

Время при движении навстречу:

$t = \frac{s}{v_1 + v_2}$

Время при движении вдогонку:

$t = \frac{s}{v_1 - v_2} \quad (v_1 > v_2)$

Формула. Совместная работа

Если первый рабочий выполняет всю работу за $t_1$ часов, а второй — за $t_2$ часов, то их совместная производительность:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t}$

где $t$ — время выполнения всей работы при совместной работе.

Общий принцип: вся работа принимается за $1$, а производительность — это доля работы, выполняемая за единицу времени.

Формула. Проценты

Процент от числа:

$p\% \text{ от } A = \frac{p}{100} \cdot A$

Увеличение числа $A$ на $p\%$:

$A_{\text{нов}} = A \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)$

Уменьшение числа $A$ на $p\%$:

$A_{\text{нов}} = A \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)$

Последовательное изменение (сложный процент):

$A_{\text{итог}} = A \cdot \left(1 + \frac{p_1}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{p_2}{100}\right) \cdots$

Обозначения

Символ	Название	Единица измерения
$s$	Расстояние / путь	км, м
$v$	Скорость	км/ч, м/с
$t$	Время	ч, мин, с
$v_{\text{соб}}$	Собственная скорость (катера)	км/ч
$v_{\text{теч}}$	Скорость течения	км/ч
$A$	Вся работа	1 (единица)
$p$	Процент	%

Пример 1. Движение по течению и против

Катер прошёл 30 км по течению реки и 20 км против течения, затратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите собственную скорость катера.

Дано: $s_1 = 30$ км (по течению), $s_2 = 20$ км (против), $v_{\text{теч}} = 2$ км/ч, $t_{\text{общ}} = 5$ ч.

Формула: $t = \frac{s}{v}$; $v_{\text{по теч}} = x + 2$, $v_{\text{против}} = x - 2$, где $x$ — собственная скорость катера.

Подстановка: $\frac{30}{x + 2} + \frac{20}{x - 2} = 5$. Умножаем на $(x+2)(x-2)$: $30(x-2) + 20(x+2) = 5(x^2 - 4)$. $30x - 60 + 20x + 40 = 5x^2 - 20$. $50x - 20 = 5x^2 - 20$. $5x^2 - 50x = 0$. $5x(x - 10) = 0$. $x = 0$ или $x = 10$.

Ответ: $x = 10$ км/ч (собственная скорость катера).

Пример 2. Совместная работа

Два токаря, работая вместе, выполняют заказ за 6 часов. Первый токарь, работая один, может выполнить этот заказ на 5 часов быстрее второго. За сколько часов выполнит заказ первый токарь, работая один?

Дано: $t_{\text{общ}} = 6$ ч, первый быстрее второго на 5 ч.

Формула: $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t_{\text{общ}}}$.

Подстановка: Пусть $x$ — время первого, тогда $x + 5$ — время второго. $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{6}$. Умножаем на $6x(x+5)$: $6(x+5) + 6x = x(x+5)$. $6x + 30 + 6x = x^2 + 5x$. $12x + 30 = x^2 + 5x$. $x^2 - 7x - 30 = 0$. $D = 49 + 120 = 169$, $\sqrt{D} = 13$. $x = \frac{7 \pm 13}{2}$. $x_1 = 10$, $x_2 = -3$ (не подходит).

Ответ: первый токарь выполнит заказ за 10 часов.

Пример 3. Процентное увеличение

Цена товара сначала повысилась на 20%, а затем понизилась на 10%. На сколько процентов изменилась цена товара по сравнению с первоначальной?

Дано: $p_1 = +20\%$, $p_2 = -10\%$.

Формула: $A_{\text{нов}} = A \cdot \left(1 + \frac{p_1}{100}\right) \cdot \left(1 - \frac{p_2}{100}\right)$.

Подстановка: $A_{\text{нов}} = A \cdot (1 + 0{,}2) \cdot (1 - 0{,}1) = A \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}9 = A \cdot 1{,}08$.

Ответ: цена выросла на $8\%$ по сравнению с первоначальной.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — складывать проценты напрямую: $20\% - 10\% = 10\%$. Это неверно! Второе изменение применяется к уже изменённой цене, а не к исходной. Всегда используйте последовательный множитель.

⚠️ В задачах на движение не забывайте переводить минуты в часы ($1$ мин $= \frac{1}{60}$ ч) и проверять, что скорость против течения положительна ($v_{\text{соб}} > v_{\text{теч}}$).

⚠️ В задачах на работу вся работа принимается за $1$, а не за $100\%$. Производительность — это $\frac{1}{t}$, а не $t$.