Осевая симметрия. Симметричные фигуры

Определение

Две точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно прямой $l$, если прямая $l$ перпендикулярна отрезку $AA_1$ и проходит через его середину. Прямая $l$ называется осью симметрии.

Осевая симметрия — это отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $A$ переходит в точку $A_1$, симметричную ей относительно оси $l$. Точки, лежащие на самой оси, остаются на месте (переходят в себя).

Симметричная фигура — фигура, которая при осевой симметрии относительно некоторой прямой переходит в себя: для каждой точки фигуры симметричная ей точка тоже принадлежит фигуре.

Формула/Теорема

Свойства осевой симметрии

Осевая симметрия является движением — она сохраняет расстояния между точками и величины углов:

• симметричные отрезки равны: $AB = A_1B_1$;
• симметричные углы равны;
• прямая переходит в прямую, окружность — в окружность;
• прямая, перпендикулярная оси, переходит в себя;
• прямая, параллельная оси, переходит в параллельную ей прямую.

Число осей симметрии у фигур

Фигура	Число осей симметрии
Равнобедренный треугольник	1 (биссектриса угла при вершине)
Равносторонний треугольник	3
Прямоугольник (не квадрат)	2
Квадрат	4
Ромб	2 (диагонали)
Окружность	бесконечно много (любая прямая через центр)
Прямая	бесконечно много

Построение симметричной точки

Чтобы построить точку $A_1$, симметричную точке $A$ относительно оси $l$:

1. Провести через $A$ прямую, перпендикулярную $l$.
2. Отметить точку $O$ — пересечение этой прямой с осью $l$.
3. Отложить от точки $O$ отрезок $OA_1 = OA$ в сторону, противоположную $A$.

Пример

Пример 1. Точка $A$ находится на расстоянии 4 см от оси симметрии $l$. На каком расстоянии от оси находится симметричная ей точка $A_1$?

Дано: расстояние от $A$ до оси $l$ равно 4 см.

Формула: ось симметрии проходит через середину отрезка $AA_1$ перпендикулярно ему, поэтому точки $A$ и $A_1$ равноудалены от оси.

Подстановка: расстояние от $A_1$ до оси $= 4$ см.

Ответ: точка $A_1$ находится на расстоянии 4 см от оси симметрии.

Пример 2. Отрезок $AB$ длиной 7 см симметрично отражён относительно прямой $l$. Чему равна длина отрезка $A_1B_1$ — образа отрезка $AB$?

Дано: $AB = 7$ см.

Формула: осевая симметрия — движение, она сохраняет расстояния: $A_1B_1 = AB$.

Подстановка: $A_1B_1 = 7$ см.

Ответ: $A_1B_1 = 7$ см.

Пример 3. Сколько осей симметрии имеет квадрат?

Дано: квадрат.

Формула: ось симметрии квадрата проходит через середины противоположных сторон или через противоположные вершины (диагонали).

Подстановка: две оси через середины противоположных сторон + две оси по диагоналям $= 4$.

Ответ: квадрат имеет 4 оси симметрии.

Пример 4. Точка $A$ имеет координаты $(3; 2)$. Найдите координаты точки $A_1$, симметричной точке $A$ относительно оси $y$ (прямой $x = 0$).

Дано: $A(3; 2)$, ось симметрии — ось $y$.

Формула: при симметрии относительно оси $y$ координата $x$ меняет знак, координата $y$ не меняется: $A(x; y) \to A_1(-x; y)$.

Подстановка: $A_1(-3; 2)$.

Ответ: $A_1(-3; 2)$.

Важно

⚠️ Типичная ошибка: считать, что симметричные точки лежат на одинаковом расстоянии от оси «в одну сторону». На самом деле ось — это середина отрезка между ними: точки лежат по разные стороны от оси на равном расстоянии.

⚠️ Важно: осевая симметрия сохраняет расстояния и углы, но «переворачивает» фигуру (зеркально). Поэтому порядок обхода вершин меняется на противоположный — фигура и её образ не совпадают при наложении, если только фигура не симметрична сама себе.

⚠️ Важно: фигура симметрична относительно оси, если её можно «сложить» вдоль оси так, что две половины совпадут. Если при сгибании половины не совпадают — оси симметрии у фигуры нет.