Основные понятия: точки, прямые, отрезки, углы

Определение

Геометрия — наука о свойствах геометрических фигур. Основные (неопределяемые) понятия планиметрии: точка и прямая.

Точка не имеет размеров. Обозначается заглавной латинской буквой: $A$, $B$, $C$, …

Прямая не имеет ни начала, ни конца — она бесконечна. Обозначается либо малой латинской буквой ($a$, $b$, $c$), либо двумя заглавными буквами ($AB$ — прямая, проходящая через точки $A$ и $B$).

📌 Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Это одна из аксиом геометрии.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки — концы отрезка. Обозначается $AB$ или $BA$.

Луч (полупрямая) — часть прямой, ограниченная одной точкой (началом луча). Луч бесконечен в одну сторону. Обозначается $OA$ (начало — точка $O$).

Угол и его измерение

Угол — геометрическая фигура, состоящая из точки (вершины угла) и двух лучей (сторон угла), исходящих из этой точки. Обозначается $\angle AOB$ или $\angle O$ (когда ясно, о каком угле речь).

Градусная мера

Углы измеряются в градусах. Градус ($1^\circ$) — это $\frac{1}{180}$ часть развёрнутого угла.

Вид угла	Градусная мера
Острый	$< 90^\circ$
Прямой	$= 90^\circ$
Тупой	$> 90^\circ$ и $< 180^\circ$
Развёрнутый	$= 180^\circ$

Равенство углов

Два угла называются равными, если они имеют одинаковую градусную меру или совпадают при наложении.

Биссектриса угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

$\angle AOC = \angle COB = \frac{1}{2}\angle AOB$

Сравнение и измерение отрезков

Два отрезка называются равными, если при наложении их концы совпадают. Иными словами, равные отрезки имеют равные длины.

Середина отрезка — точка, которая делит отрезок на два равных отрезка.

Основное свойство измерения отрезков: если точка $C$ лежит на отрезке $AB$, то длина всего отрезка равна сумме длин его частей: $AB = AC + CB$.

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы — два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой (образуют прямую).

Основное свойство: сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$

Вертикальные углы — два угла, образованные при пересечении двух прямых и не имеющие общих сторон (расположены «напротив» друг друга).

Основное свойство: вертикальные углы равны.

$\angle 1 = \angle 3,\quad \angle 2 = \angle 4$

Формула/Теорема

Теорема о смежных углах

Сумма смежных углов равна $180^\circ$:

$\angle \alpha + \angle \beta = 180^\circ$

Теорема о вертикальных углах

Вертикальные углы равны:

$\angle \alpha = \angle \gamma$

Аксиома измерения отрезков

Если точка $C$ лежит на отрезке $AB$, то:

$AB = AC + CB$

Пример

Пример 1. На отрезке $AB = 10$ см отмечена точка $C$ так, что $AC = 4$ см. Найдите $CB$.

Дано: $AB = 10$ см, $AC = 4$ см, $C \in AB$.

Формула: $AB = AC + CB$.

Подстановка: $CB = AB - AC = 10 - 4 = 6$ см.

Ответ: $CB = 6$ см.

Пример 2. Один из смежных углов на $30^\circ$ больше другого. Найдите эти углы.

Дано: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$, $\angle 1 = \angle 2 + 30^\circ$.

Формула: Подставим: $(\angle 2 + 30^\circ) + \angle 2 = 180^\circ$.

Подстановка: $2\angle 2 + 30^\circ = 180^\circ$, $2\angle 2 = 150^\circ$, $\angle 2 = 75^\circ$.

Ответ: $\angle 1 = 105^\circ$, $\angle 2 = 75^\circ$.

Пример 3. При пересечении двух прямых один из вертикальных углов равен $52^\circ$. Найдите все углы.

Дано: $\angle 1 = 52^\circ$.

Формула: Вертикальные: $\angle 1 = \angle 3$, $\angle 2 = \angle 4$. Смежные: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Подстановка: $\angle 3 = 52^\circ$ (вертикальный с $\angle 1$). $\angle 2 = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$. $\angle 4 = 128^\circ$ (вертикальный с $\angle 2$).

Ответ: $\angle 1 = 52^\circ$, $\angle 2 = 128^\circ$, $\angle 3 = 52^\circ$, $\angle 4 = 128^\circ$.

Важно

⚠️ Не путай прямую и отрезок: прямая бесконечна, отрезок имеет длину. Не путай луч и отрезок: у луча есть начало, но нет конца.

⚠️ Смежные углы имеют общую сторону и дополняют друг друга до $180^\circ$. Если сумма двух углов равна $180^\circ$, это не гарантирует, что они смежные.

⚠️ При пересечении двух прямых образуется две пары вертикальных углов. Вертикальные углы всегда равны.