Окружность и круг

Определение. Окружность и круг

Окружность — множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки (центра). Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью (окружность + внутренность).

Элемент	Определение
Радиус $R$	Расстояние от центра до любой точки окружности
Диаметр $D$	Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр; $D = 2R$
Хорда	Отрезок, соединяющий две точки окружности
Дуга	Часть окружности между двумя точками
Касательная	Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку

Основные формулы

$C = 2\pi R \quad \text{— длина окружности}$ $S = \pi R^2 \quad \text{— площадь круга}$

Площадь сектора с углом $\alpha^\circ$:

$S_{\text{сект}} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$

Центральные и вписанные углы

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Его градусная мера равна мере дуги, на которую он опирается.

Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность.

📌 Теорема о вписанном угле: вписанный угол равен половине центрального угла (и половине дуги), опирающегося на ту же дугу.

$\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC$

Следствие: вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой ($90^\circ$).

Касательная

Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны.

Примеры задач с решением

Пример 1. Найти длину окружности с диаметром 10 см.

Дано: $D = 10$, значит $R = 5$

Формула: $C = 2\pi R$

Подстановка: $C = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5 = 31{,}4$

Ответ: $C \approx 31{,}4$ см.

Пример 2. Найти площадь сектора круга радиуса 6 см с центральным углом $60^\circ$.

Дано: $R = 6$, $\alpha = 60^\circ$

Формула: $S_{\text{сект}} = \dfrac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$

Подстановка: $S_{\text{сект}} = \dfrac{\pi \cdot 36 \cdot 60}{360} = 6\pi$

Ответ: $S_{\text{сект}} = 6\pi \approx 18{,}84$ см².