Вписанная и описанная окружность. Вписанный угол

Определение вписанного угла

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

$\angle ABC \text{ — вписанный, если } B \in \text{окр.}, AB \text{ и } BC \text{ — хорды}$

Теорема о вписанном угле

Теорема. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

$\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC$

где $\angle AOC$ — центральный угол, $O$ — центр окружности.

📌 Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается: $\angle ABC = \dfrac{1}{2} \cup AC$.

Следствия из теоремы

Следствие 1. Равные углы над одной дугой

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны:

$\angle ABC = \angle ADC = \angle AEC = \dots$

если все они опираются на дугу $AC$.

Следствие 2. Угол в полуокружности

Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность) — прямой:

$\angle ABC = 90^\circ \quad \text{если } AC \text{ — диаметр}$

Формула

$\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \cup AC$

Вписанная окружность треугольника

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника (инцентр).

Радиус вписанной окружности:

$r = \frac{2S}{a + b + c} = \frac{S}{p}$

где $p = \dfrac{a + b + c}{2}$ — полупериметр, $S$ — площадь треугольника.

Описанная окружность треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Радиус описанной окружности:

$R = \frac{abc}{4S}$

Примеры задач с решением

Пример 1. Центральный угол равен $120^\circ$. Найти вписанный угол, опирающийся на ту же дугу.

Дано: $\angle AOC = 120^\circ$

Формула: $\angle ABC = \dfrac{1}{2} \angle AOC$

Подстановка: $\angle ABC = \dfrac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.

Пример 2. В треугольнике со сторонами 3, 4, 5 найти радиус вписанной окружности.

Дано: $a = 3$, $b = 4$, $c = 5$

Решение:

1. Полупериметр: $p = \dfrac{3 + 4 + 5}{2} = 6$
2. Площадь (прямоугольный треугольник): $S = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$

Формула: $r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{6}{6} = 1$

Ответ: $r = 1$.

Пример 3. Найти радиус описанной окружности того же треугольника.

Формула: $R = \dfrac{abc}{4S} = \dfrac{3 \cdot 4 \cdot 5}{4 \cdot 6} = \dfrac{60}{24} = 2{,}5$

Ответ: $R = 2{,}5$.