Равнобедренный треугольник

Определение

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$:

• $AB = BC$ — боковые стороны
• $AC$ — основание
• $B$ — вершина равнобедренного треугольника
• $\angle A$ и $\angle C$ — углы при основании
• $\angle B$ — угол при вершине

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все три стороны равны. Он является частным случаем равнобедренного треугольника, где любую сторону можно считать основанием.

Формула/Теорема

Теорема 1. Свойство углов при основании

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$AB = BC \;\Rightarrow\; \angle A = \angle C$

Теорема 1-обратная. Признак равнобедренного треугольника

Если в треугольнике два угла равны, то такой треугольник — равнобедренный:

$\angle A = \angle C \;\Rightarrow\; AB = BC$

Теорема 2. Свойство биссектрисы

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой:

$BD \text{ — биссектриса } \Rightarrow \begin{cases} AD = DC \text{ (медиана)} \\ BD \perp AC \text{ (высота)} \end{cases}$

📌 Это главное свойство равнобедренного треугольника используется в огромном количестве задач. Биссектриса из вершины к основанию «три в одном»: делит угол пополам, делит основание пополам, перпендикулярна основанию.

Теорема 3. Равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$:

$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$

Пример

Пример 1. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) угол при вершине $B$ равен $40^\circ$. Найдите углы при основании.

Дано: $AB = BC$, $\angle B = 40^\circ$.

Формула: $\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - \angle B}{2}$.

Подстановка: $\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ$.

Ответ: $\angle A = 70^\circ$, $\angle C = 70^\circ$.

Пример 2. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) биссектриса $BD$ равна $6$ см, а основание $AC = 10$ см. Найдите $AD$.

Дано: $AB = BC$, $BD$ — биссектриса, $AC = 10$ см.

Формула: По свойству биссектрисы равнобедренного треугольника, она же медиана: $AD = DC = AC / 2$.

Подстановка: $AD = 10 / 2 = 5$ см.

Ответ: $AD = 5$ см.

Пример 3. В треугольнике $ABC$ угол $A = 50^\circ$, угол $C = 50^\circ$. Докажите, что треугольник равнобедренный и найдите угол $B$.

Дано: $\angle A = \angle C = 50^\circ$.

Решение: По обратной теореме (признак равнобедренного треугольника), если два угла равны, то треугольник равнобедренный: $\angle A = \angle C \Rightarrow AB = BC$.

Формула: $\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = 80^\circ$.

Ответ: $AB = BC$, $\angle B = 80^\circ$.

Важно

⚠️ Свойство «биссектриса = медиана = высота» работает только для биссектрисы, проведённой из вершины к основанию. Биссектрисы, проведённые из углов при основании, этим свойством не обладают.

⚠️ В равностороннем треугольнике биссектриса = медиана = высота для любой вершины (все три высоты совпадают с медианами и биссектрисами).

📌 Полезный факт: если в треугольнике высота является одновременно медианой или биссектрисой, то треугольник — равнобедренный.