Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой

Определение

Две прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют прямой угол ($90^\circ$). Обозначается: $a \perp b$.

При пересечении двух перпендикулярных прямых образуются четыре прямых угла — все по $90^\circ$.

Перпендикулярные отрезки и лучи — отрезки (лучи), лежащие на перпендикулярных прямых.

📌 Если один из углов между прямыми равен $90^\circ$, то и остальные три — тоже $90^\circ$. То есть достаточно доказать, что хотя бы один угол прямой.

Перпендикуляр к прямой

Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Эта точка пересечения называется основанием перпендикуляра.

На рисунке: $AH \perp l$, $H$ — основание перпендикуляра.

Любой другой отрезок, проведённый из той же точки $A$ к прямой $l$, но не перпендикулярный ей, называется наклонной.

Формула/Теорема

Теорема о единственности перпендикуляра

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

$\forall A \notin l \;\exists!\; AH: AH \perp l$

Теорема о перпендикуляре и наклонных

Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к той же прямой:

$AH < AK \quad \text{для любой наклонной } AK$

Расстояние от точки до прямой

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к прямой:

$d(A, l) = AH \; \text{ где } AH \perp l$

Построение перпендикуляра с помощью циркуля и линейки

Для построения перпендикуляра из точки к прямой используют свойство точек, равноудалённых от концов отрезка (серединный перпендикуляр).

Свойство серединного перпендикуляра

Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно ему. Все точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка.

Если $M \in l$, где $l$ — серединный перпендикуляр к $AB$, то $MA = MB$.

Пример

Пример 1. Из точки $A$ к прямой $l$ проведены перпендикуляр $AH = 6$ см и наклонная $AK = 10$ см. Найдите проекцию $HK$ наклонной на прямую $l$.

Дано: $AH \perp l$, $AH = 6$ см, $AK = 10$ см.

Формула: $\triangle AHK$ — прямоугольный ($\angle AHK = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $AK^2 = AH^2 + HK^2$.

Подстановка: $HK^2 = AK^2 - AH^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$.

Ответ: $HK = 8$ см.

Пример 2. Точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Найдите $MB$, если $MA = 7$ см.

Дано: $M$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, $MA = 7$ см.

Формула: По свойству серединного перпендикуляра, любая точка на нём равноудалена от концов отрезка.

Подстановка: $MB = MA = 7$ см.

Ответ: $MB = 7$ см.

Пример 3. Из точки $A$ к прямой $l$ проведены перпендикуляр $AH$ и две наклонные $AB = 13$ см и $AC = 15$ см. Проекция $BH = 5$ см. Найдите $AH$ и $CH$.

Дано: $AH \perp l$, $AB = 13$ см, $BH = 5$ см, $AC = 15$ см.

Формула: По теореме Пифагора: $AH^2 = AB^2 - BH^2$, затем $CH^2 = AC^2 - AH^2$.

Подстановка: $AH^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \Rightarrow AH = 12$ см. $CH^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81 \Rightarrow CH = 9$ см.

Ответ: $AH = 12$ см, $CH = 9$ см.

Важно

⚠️ Перпендикуляр всегда короче любой наклонной из той же точки. Это полезно для сравнения отрезков без вычислений.

⚠️ Не путай «перпендикулярные прямые» и «перпендикуляр»: первые — две прямые под $90^\circ$, второй — отрезок из точки к прямой под $90^\circ$.

⚠️ Через точку на прямой можно провести единственный перпендикуляр к этой прямой. Через точку вне прямой — тоже единственный.

📌 Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину. Это геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка.