Прямоугольный треугольник. Построения

Определение

Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один угол прямой ($= 90^\circ$). Два других угла — всегда острые (их сумма $= 90^\circ$).

Элементы прямоугольного треугольника:

• Катеты — стороны, образующие прямой угол ($AC$ и $BC$ на рисунке)
• Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла ($AB$)
• Гипотенуза всегда длиннее каждого из катетов (наибольшая сторона)

📌 В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90^\circ$: $\angle A + \angle B = 90^\circ$.

Формула/Теорема

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Помимо трёх общих признаков равенства, для прямоугольных треугольников существуют специальные признаки:

Признак	Какие элементы	Пример
I	По двум катетам	$AC = DF$, $BC = EF$
II	По катету и прилежащему острому углу	$AC = DF$, $\angle A = \angle D$
III	По гипотенузе и острому углу	$AB = DE$, $\angle A = \angle D$
IV	По гипотенузе и катету	$AB = DE$, $AC = DF$

📌 Признак IV (по гипотенузе и катету) уникален: в обычных треугольниках нет признака «по двум сторонам и углу не между ними», но для прямоугольных он работает (угол 90° — между гипотенузой и катетом).

Свойства прямоугольного треугольника

Свойство 1. Катет против угла $30^\circ$:

Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы:

$\angle A = 30^\circ \;\Rightarrow\; BC = \frac{AB}{2}$

Обратно: если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен $30^\circ$.

Свойство 2. Медиана к гипотенузе:

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы:

$CM = \frac{AB}{2}$

Точка $M$ (середина гипотенузы) равноудалена от всех трёх вершин: $AM = BM = CM$.

Свойство 3. Неравенство катетов и гипотенузы

Гипотенуза больше любого катета:

$AB > AC, \quad AB > BC$

Задачи на построение циркулем и линейкой

Основные построения

1. Построение угла, равного данному — перенос угла с помощью дуги окружности
2. Построение биссектрисы угла — через пересечение дуг равного радиуса
3. Построение перпендикуляра к прямой:
   • Через точку на прямой: отложить равные отрезки, построить окружности
   • Через точку вне прямой: окружность с центром в точке, пересечение с прямой, серединный перпендикуляр
4. Построение середины отрезка — окружности с центрами в концах отрезка
5. Построение треугольника по трём элементам (сторонам и углам)

Построение треугольника по трём сторонам

Даны три отрезка $a$, $b$, $c$. Построить треугольник:

1. Провести прямую, отложить отрезок $AB = c$
2. Провести окружность с центром $A$ радиусом $b$
3. Провести окружность с центром $B$ радиусом $a$
4. Точка $C$ — точка пересечения окружностей
5. $\triangle ABC$ — искомый

Пример

Пример 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $16$ см, а острый угол $30^\circ$. Найдите катет, противолежащий этому углу.

Дано: $\angle C = 90^\circ$, $AB = 16$ см, $\angle A = 30^\circ$.

Формула: Катет $BC$ лежит напротив $\angle A = 30^\circ$: $BC = AB/2$.

Подстановка: $BC = 16/2 = 8$ см.

Ответ: $BC = 8$ см.

Пример 2. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) медиана $CM = 6$ см. Найдите гипотенузу $AB$.

Дано: $CM$ — медиана к гипотенузе, $CM = 6$ см.

Формула: Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы: $CM = AB/2$.

Подстановка: $AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: $AB = 12$ см.

Пример 3. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе $c = 5$ см и катету $a = 3$ см.

Дано: $c = 5$ см (гипотенуза), $a = 3$ см (катет).

Построение:

1. Провести прямую, выбрать точку $C$.
2. Построить перпендикуляр из $C$ — на нём будет второй катет.
3. На одном луче отложить катет $a = 3$ см ($CB = 3$ см).
4. Из точки $B$ провести окружность радиусом $c = 5$ см до пересечения с перпендикуляром.
5. Точка пересечения — $A$. $\triangle ABC$ — искомый.

Проверка: $BC = 3$ см, $AB = 5$ см, $\angle C = 90^\circ$. По теореме Пифагора: $AC = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ см.

Важно

⚠️ В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катетов. Нельзя построить прямоугольный треугольник, где гипотенуза короче катета.

⚠️ Свойство катета против $30^\circ$ работает только в прямоугольном треугольнике. В произвольном треугольнике сторона напротив $30^\circ$ не равна половине другой стороны.

⚠️ Построения циркулем и линейкой — это точные геометрические методы. Измерение линейкой в сантиметрах в задачах на построение, как правило, не допускается.

📌 Медиана к гипотенузе делит прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника. Точка пересечения медиан с вершинами равноудалена от всех трёх вершин (центр описанной окружности).