Сумма углов треугольника. Внешний угол

Определение

Одно из фундаментальных свойств треугольника: сумма его внутренних углов всегда равна $180^\circ$. Это верно для любого треугольника — остроугольного, прямоугольного или тупоугольного.

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине. При каждой вершине треугольника можно построить два внешних угла (они равны как вертикальные).

Формула/Теорема

Теорема 1. Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Доказательство (через параллельные прямые):

Через вершину $B$ проведём прямую $MN \parallel AC$. Тогда:

• $\angle MBC = \angle C$ (накрест лежащие при $MN \parallel AC$ и секущей $BC$)
• $\angle NBA = \angle A$ (накрест лежащие при $MN \parallel AC$ и секущей $BA$)

Углы $\angle NBA$, $\angle ABC$, $\angle MBC$ в сумме составляют развёрнутый угол ($180^\circ$):

$\angle A + \angle B + \angle C = \angle NBA + \angle ABC + \angle MBC = 180^\circ$

Теорема 2. Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle 4 = \angle 1 + \angle 2$

где $\angle 4$ — внешний угол при вершине, а $\angle 1$ и $\angle 2$ — два других внутренних угла.

Доказательство:

По определению, внешний угол $\angle 4$ — смежный с внутренним $\angle 3$: $\angle 3 + \angle 4 = 180^\circ$ $\Rightarrow \angle 4 = 180^\circ - \angle 3$

Но $\angle 3 = 180^\circ - \angle 1 - \angle 2$ (из теоремы о сумме углов). Подставляем: $\angle 4 = 180^\circ - (180^\circ - \angle 1 - \angle 2) = \angle 1 + \angle 2$

Следствие: Внешний угол треугольника больше каждого из внутренних углов, не смежных с ним.

Классификация треугольников по углам

Тип	Условие	Сумма острых углов
Остроугольный	Все три угла $< 90^\circ$	$= 180^\circ$
Прямоугольный	Один угол $= 90^\circ$	$= 90^\circ$
Тупоугольный	Один угол $> 90^\circ$	$< 90^\circ$

📌 В треугольнике не может быть больше одного прямого или тупого угла.

Пример

Пример 1. Два угла треугольника равны $35^\circ$ и $85^\circ$. Найдите третий угол и определите вид треугольника.

Дано: $\angle A = 35^\circ$, $\angle B = 85^\circ$.

Формула: $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$.

Подстановка: $\angle C = 180^\circ - 35^\circ - 85^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $\angle C = 60^\circ$. Все углы $< 90^\circ$, значит треугольник остроугольный.

Пример 2. В треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $B$ равен $125^\circ$. Найдите $\angle A + \angle C$.

Дано: внешний угол при $B$ равен $125^\circ$.

Формула: внешний угол равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов: $\angle_{\text{внеш}} = \angle A + \angle C$.

Подстановка: $\angle A + \angle C = 125^\circ$.

Ответ: $\angle A + \angle C = 125^\circ$. Тогда $\angle B = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$.

Пример 3. В треугольнике $ABC$: $\angle A = 40^\circ$, а внешний угол при вершине $C$ равен $100^\circ$. Найдите $\angle B$.

Дано: $\angle A = 40^\circ$, внешний угол при $C$ равен $100^\circ$.

Решение: Внешний угол при $C$ равен сумме углов $A$ и $B$: $\angle_{\text{внеш}} = \angle A + \angle B$.

Подстановка: $100^\circ = 40^\circ + \angle B \Rightarrow \angle B = 60^\circ$.

Проверка: $\angle C = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. Сумма: $40^\circ + 60^\circ + 80^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $\angle B = 60^\circ$.

Важно

⚠️ Сумма углов треугольника не зависит от длин сторон! У маленького и большого треугольников с одинаковыми углами сумма всегда $180^\circ$.

⚠️ Внешний угол всегда больше любого не смежного с ним внутреннего (строго больше, не равен). Это следствие часто используется в неравенствах.

⚠️ Если в задаче известен внешний угол, не нужно сначала искать смежный ему внутренний — можно сразу приравнять внешний угол к сумме двух других внутренних.