Признаки равенства треугольников

Определение

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением так, что они полностью совпадут. При равенстве треугольников все шесть соответственных элементов (три стороны и три угла) попарно равны.

Однако для доказательства равенства не нужно проверять все шесть элементов — достаточно трёх. Существует три признака равенства треугольников, каждый из которых использует определённый набор из трёх элементов.

📌 Если треугольники равны, то равны все их соответственные элементы: $AB = DE$, $BC = EF$, $AC = DF$, $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$.

Формула/Теорема

Первый признак (по двум сторонам и углу между ними — СУС)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

$\left.\begin{aligned} AB &= DE \\ AC &= DF \\ \angle A &= \angle D \end{aligned}\right\} \Rightarrow \triangle ABC = \triangle DEF$

Второй признак (по стороне и двум прилежащим углам — УСУ)

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

$\left.\begin{aligned} AB &= DE \\ \angle A &= \angle D \\ \angle B &= \angle E \end{aligned}\right\} \Rightarrow \triangle ABC = \triangle DEF$

Третий признак (по трём сторонам — ССС)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

$\left.\begin{aligned} AB &= DE \\ BC &= EF \\ AC &= DF \end{aligned}\right\} \Rightarrow \triangle ABC = \triangle DEF$

Сводная таблица признаков

Признак	Сокращение	Какие элементы сравниваем
I	СУС	Две стороны + угол между ними
II	УСУ	Сторона + два прилежащих угла
III	ССС	Три стороны

Пример

Пример 1. Дано: $AB = 5$ см, $BC = 7$ см, $\angle B = 60^\circ$ в $\triangle ABC$. В $\triangle MNK$: $MN = 5$ см, $NK = 7$ см, $\angle N = 60^\circ$. Докажите, что треугольники равны.

Дано: $AB = MN = 5$ см, $BC = NK = 7$ см, $\angle B = \angle N = 60^\circ$.

Формула: Первый признак (СУС) — две стороны и угол между ними.

Решение: Стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно равны сторонам $MN$ и $NK$ треугольника $MNK$, и угол между ними ($\angle B$) равен углу между соответственными сторонами ($\angle N$).

Ответ: $\triangle ABC = \triangle MNK$ по первому признаку.

Пример 2. В четырёхугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, причём $AO = OC$ и $BO = OD$. Докажите, что $AB = CD$.

Дано: $AO = OC$, $BO = OD$, $O$ — точка пересечения диагоналей.

Решение: Рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle COD$: $AO = OC$, $BO = OD$ (по условию), $\angle AOB = \angle COD$ (вертикальные). Значит, $\triangle AOB = \triangle COD$ по первому признаку (СУС). Из равенства треугольников: $AB = CD$.

Ответ: $AB = CD$.

Пример 3. На рисунке $\angle 1 = \angle 2$ и $\angle 3 = \angle 4$. Докажите, что $AB = AD$.

Дано: $\angle BAC = \angle DAC$, $\angle BCA = \angle DCA$, $AC$ — общая сторона.

Решение: Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$: $AC$ — общая сторона, $\angle BAC = \angle DAC$, $\angle BCA = \angle DCA$. Значит, $\triangle ABC = \triangle ADC$ по второму признаку (УСУ). Из равенства треугольников: $AB = AD$.

Ответ: $AB = AD$.

Важно

⚠️ При использовании первого признака (СУС) угол должен быть именно между равными сторонами. Если угол не между ними — признак не работает.

⚠️ Во втором признаке (УСУ) углы должны прилежать к равной стороне (иметь её своей общей стороной). Если один из углов противолежит стороне — признак не применим.

⚠️ Соответствие элементов: сравнивай элементы одного треугольника с элементами другого в правильном порядке. Сторона $AB$ первого треугольника соответствует равной ей стороне второго треугольника.

📌 После доказательства равенства треугольников можно утверждать равенство ВСЕХ их элементов, даже тех, что не были даны.