Площади фигур

Площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции, круга.

Площади фигур

Определение. Площадь

Площадь — числовая характеристика плоской фигуры, показывающая размер части плоскости, которую она занимает. Измеряется в квадратных единицах (см², м² и т.д.).

Площадь треугольника

$S = \frac{1}{2}ah$

где $a$ — основание, $h$ — высота, проведённая к этому основанию.

Для прямоугольного треугольника: $S = \frac{1}{2}ab$ , где $a$ и $b$ — катеты.

Формула Герона (через три стороны):

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

где $p = \dfrac{a + b + c}{2}$ — полупериметр.

Площади четырёхугольников

Фигура	Формула	Обозначения
Прямоугольник	$S = ab$	$a, b$ — стороны
Квадрат	$S = a^2$	$a$ — сторона
Параллелограмм	$S = ah$	$a$ — основание, $h$ — высота
Ромб	$S = \frac{1}{2}d_1 d_2$	$d_1, d_2$ — диагонали
Трапеция	$S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h$	$a, b$ — основания, $h$ — высота

Площадь круга

$S = \pi R^2$

Длина окружности: $C = 2\pi R$ . Приближённо $\pi \approx 3{,}14$ .

Примеры задач с решением

Пример 1. Найти площадь треугольника со сторонами 3, 4, 5.

Дано: $a = 3$ , $b = 4$ , $c = 5$ . Это прямоугольный треугольник ( $3^2 + 4^2 = 5^2$ ).

Формула (для прямоугольного): $S = \frac{1}{2}ab$

Подстановка: $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$

Ответ: $S = 6$ кв. ед.

Пример 2. Найти площадь трапеции с основаниями 5 см и 9 см, высотой 4 см.

Дано: $a = 5$ , $b = 9$ , $h = 4$

Формула: $S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h$

Подстановка: $S = \dfrac{5 + 9}{2} \cdot 4 = 7 \cdot 4 = 28$

Ответ: $S = 28$ см².

Примеры вопросов из тренажёра

Q: Как найти площадь треугольника?

A: верный ответ — S = ½ × a × h

Объяснение: Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: S = ½ah. Для прямоугольного треугольника: S = ½ab, где a, b — катеты.
Q: Как найти площадь трапеции с основаниями a, b и высотой h?

A: верный ответ — S = (a + b)/2 × h

Объяснение: Площадь трапеции: S = (a + b)/2 × h, где a, b — основания, h — высота. Площадь параллелограмма: S = a × h. Площадь прямоугольника: S = a × b.
Q: Чему равна площадь круга радиусом R?

A: верный ответ — S = πR²

Объяснение: Площадь круга: S = πR², где R — радиус. Длина окружности (а не площадь) вычисляется по другой формуле: C = 2πR.
Q: Сторона треугольника равна 10 см, а высота, проведённая к этой стороне, равна 8 см. Чему равна площадь треугольника?

A: верный ответ — 40 см²

Объяснение: Площадь треугольника S = ½ × a × h = ½ × 10 × 8 = 40 см². Важно не забыть разделить произведение основания на высоту пополам.
Q: Сторона параллелограмма равна 15 см, а высота, проведённая к этой стороне, — 6 см. Найдите площадь параллелограмма (в см²).

A: верный ответ — 90 см²

Объяснение: Площадь параллелограмма S = a × h (основание на высоту). S = 15 × 6 = 90 см². В отличие от треугольника, деление на 2 не требуется.

Пройти тему «Площади фигур» в приложении