Четырёхугольники — повторение и систематизация

📌 Это повторительно-обобщающая тема. Мы уже изучили параллелограмм, его свойства и признаки, частные случаи (прямоугольник, ромб, квадрат) и трапецию в теме «Параллелограмм и трапеция». Здесь мы повторим, закрепим и систематизируем эти знания в единую картину.

Повторяем: семейство четырёхугольников

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Частные случаи — иерархия:

$\text{Параллелограмм} \supset \text{Прямоугольник} \supset \text{Квадрат}$ $\text{Параллелограмм} \supset \text{Ромб} \supset \text{Квадрат}$

Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно две стороны параллельны (основания).

Повторяем: свойства (таблица)

Фигура	Стороны	Углы	Диагонали
Параллелограмм	Противоположные равны	Противоположные равны	Точкой пересечения делятся пополам
Прямоугольник	Противоположные равны	Все по $90^\circ$	Равны
Ромб	Все равны	Противоположные равны	Перпендикулярны, делят углы пополам
Квадрат	Все равны	Все по $90^\circ$	Равны и перпендикулярны
Трапеция	Два основания $\parallel$	—	—

Повторяем: признаки параллелограмма

Четырёхугольник — параллелограмм, если выполняется хотя бы одно:

1. Противоположные стороны попарно равны.
2. Противоположные стороны попарно параллельны.
3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
4. Две стороны равны и параллельны.

Повторяем: формулы площади

Фигура	Формула
Параллелограмм	$S = ah$
Прямоугольник	$S = ab$
Ромб	$S = \frac{1}{2}d_1 d_2$
Квадрат	$S = a^2$
Трапеция	$S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h$

Систематизируем: как связаны фигуры

💡 Ключ к теме — иерархия: квадрат «вбирает» свойства всех остальных. Прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами, ромб — параллелограмм с равными сторонами, квадрат — и то и другое сразу. Трапеция стоит особняком: у неё параллельна только одна пара сторон. Проверяя фигуру, всегда начинай с параллельности сторон — это самый надёжный признак.

Примеры на закрепление

Пример 1. В трапеции основания равны 6 см и 12 см, высота 5 см. Найти площадь.

Дано: $a = 6$, $b = 12$, $h = 5$

Формула: $S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h$

Подстановка: $S = \dfrac{6 + 12}{2} \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$

Ответ: $S = 45$ см².

Пример 2. Диагонали ромба 8 см и 6 см. Найти площадь.

Дано: $d_1 = 8$, $d_2 = 6$

Формула: $S = \dfrac{1}{2}d_1 d_2$

Подстановка: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$

Ответ: $S = 24$ см².

⚠️ Не путай свойства и признаки. Свойства — чем фигура уже «обладает» (у параллелограмма противоположные стороны равны). Признаки — по чему мы узнаём, что фигура — параллелограмм (если противоположные стороны равны, то это параллелограмм). И помни: не всякий параллелограмм — прямоугольник, но всякий прямоугольник — параллелограмм.