Параллелограмм и трапеция

Определение параллелограмма

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

$AB \parallel CD,\quad BC \parallel AD$

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны равны: $AB = CD$, $BC = AD$
2. Противоположные углы равны: $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$
3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам: $AO = OC$, $BO = OD$
4. Сумма углов при одной стороне: $\angle A + \angle B = 180^\circ$

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из условий:

Признак	Формулировка
1	Противоположные стороны попарно равны: $AB = CD$ и $BC = AD$
2	Противоположные стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$
3	Диагонали точкой пересечения делятся пополам: $AO = OC$ и $BO = OD$
4	Две стороны равны и параллельны: $AB = CD$ и $AB \parallel CD$

Частные случаи параллелограмма

Ромб

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

$AB = BC = CD = DA$

Особые свойства ромба:

• Диагонали взаимно перпендикулярны: $AC \perp BD$
• Диагонали делят углы пополам

Прямоугольник

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.

$\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$

Особое свойство прямоугольника:

• Диагонали равны: $AC = BD$

Квадрат

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны (или ромб с прямыми углами).

Квадрат обладает всеми свойствами и прямоугольника, и ромба.

Трапеция

Определение

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие не параллельны (боковые стороны).

Равнобедренная трапеция

Свойства равнобедренной трапеции:

• Боковые стороны равны: $AB = CD$
• Углы при каждом основании равны: $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle C$
• Диагонали равны: $AC = BD$

Формула средней линии трапеции

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

$M = \frac{a + b}{2}$

где $a$ и $b$ — основания трапеции, $M$ — средняя линия.

Примеры задач с решением

Пример 1. Доказать, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, если $AB = CD = 5$ см и $AB \parallel CD$.

Решение: По признаку 4: две стороны равны и параллельны $\Rightarrow$ $ABCD$ — параллелограмм.

Пример 2. В трапеции основания 8 см и 14 см. Найти среднюю линию.

Дано: $a = 8$, $b = 14$

Формула: $M = \dfrac{a + b}{2}$

Подстановка: $M = \dfrac{8 + 14}{2} = \dfrac{22}{2} = 11$

Ответ: $M = 11$ см.

Пример 3. Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Является ли ромб квадратом?

Решение: У квадрата диагонали равны. Здесь $10 \neq 24$, значит ромб не является квадратом.