Теорема Пифагора

Определение. Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$c^2 = a^2 + b^2$

где $c$ — гипотенуза (сторона, лежащая против прямого угла), $a$ и $b$ — катеты.

📌 Гипотенуза — всегда самая длинная сторона прямоугольного треугольника.

Обратная теорема Пифагора

Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, то этот треугольник — прямоугольный, а угол, лежащий против большей стороны — прямой.

Это удобный способ проверить, является ли треугольник прямоугольным:

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 \quad \Rightarrow \quad \text{треугольник со сторонами 5, 12, 13 — прямоугольный}$

Пифагоровы тройки

Пифагорова тройка — три натуральных числа $(a, b, c)$, для которых $a^2 + b^2 = c^2$.

Тройка	Проверка
$3, 4, 5$	$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$
$5, 12, 13$	$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$
$8, 15, 17$	$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$

Применения

Теорема Пифагора применяется повсюду:

• Диагональ прямоугольника: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$
• Расстояние между точками: $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
• Пространственная диагональ: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Примеры задач с решением

Пример 1. В прямоугольном треугольнике катеты 6 см и 8 см. Найти гипотенузу.

Дано: $a = 6$, $b = 8$

Формула: $c^2 = a^2 + b^2$

Подстановка: $c^2 = 36 + 64 = 100$ → $c = \sqrt{100} = 10$

Ответ: $c = 10$ см.

Пример 2. Гипотенуза 13 см, один катет 5 см. Найти второй катет.

Дано: $c = 13$, $a = 5$

Формула: $b^2 = c^2 - a^2$

Подстановка: $b^2 = 169 - 25 = 144$ → $b = 12$

Ответ: $b = 12$ см.