Подобные треугольники

Определение

Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны, а стороны пропорциональны.

$\triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1$

$\frac{AB}{A_1 B_1} = \frac{BC}{B_1 C_1} = \frac{AC}{A_1 C_1} = k$

Число $k$ называется коэффициентом подобия.

📌 Отношение площадей подобных треугольников равно $k^2$: $\dfrac{S_1}{S_2} = k^2$.

Признаки подобия треугольников

Признак	Условие
По двум углам (УУ)	Два угла одного треугольника равны двум углам другого
По двум сторонам и углу между ними	Две стороны пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны
По трём сторонам (ССС)	Три стороны одного пропорциональны трём сторонам другого

💡 Признак УУ — самый используемый. Если два угла равны, то и третьи автоматически равны (сумма углов $180^\circ$).

Применение подобия

Подобие позволяет находить недоступные расстояния и высоты. Способ Фалеса: измерение высоты предмета по его тени.

$\frac{h_{\text{предмета}}}{h_{\text{шеста}}} = \frac{L_{\text{тени предмета}}}{L_{\text{тени шеста}}}$

Примеры задач с решением

Пример 1. Доказать, что треугольники с углами $40^\circ, 60^\circ, 80^\circ$ и $40^\circ, 60^\circ, 80^\circ$ подобны.

Дано: $\angle A = 40^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $\angle C = 80^\circ$; $\angle A_1 = 40^\circ$, $\angle B_1 = 60^\circ$, $\angle C_1 = 80^\circ$

Формула: признак УУ — два угла равны

Подстановка: $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$

Ответ: треугольники подобны по двум углам.

Пример 2. Дерево отбрасывает тень длиной 12 м. Шест высотой 2 м — тень 3 м. Найти высоту дерева.

Дано: $h_{\text{шеста}} = 2$, $L_{\text{тени шеста}} = 3$, $L_{\text{тени дерева}} = 12$

Формула: $\dfrac{h_{\text{дерева}}}{2} = \dfrac{12}{3}$

Подстановка: $h_{\text{дерева}} = 2 \cdot \dfrac{12}{3} = 8$

Ответ: $h = 8$ м.