Теорема Фалеса. Центральная симметрия. Центр масс

Определение

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Теорема о пропорциональных отрезках (обобщение теоремы Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от его сторон пропорциональные отрезки.

Центральная симметрия — отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $A$ переходит в точку $A_1$ такую, что точка $O$ (центр симметрии) является серединой отрезка $AA_1$. Это поворот на $180^\circ$ вокруг точки $O$.

Центр масс (центроид) треугольника — точка пересечения его медиан. Медианы делятся этой точкой в отношении $2:1$, считая от вершины.

Формула/Теорема

Теорема Фалеса

Если на одной стороне угла отложены равные отрезки $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$ и через их концы проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла, то на второй стороне отсекаются равные отрезки $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3$.

Теорема о пропорциональных отрезках

Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то:

$\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}$

Метод удвоения медианы

Чтобы доказать свойства, связанные с медианой $AM$ треугольника $ABC$, продлевают медиану за точку $M$ на отрезок $MD = AM$. Тогда четырёхугольник $ABDC$ — параллелограмм, откуда $BD = AC$ и $CD = AB$.

Центр масс треугольника

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде) и делятся ею в отношении $2:1$, считая от вершины:

$\frac{AO}{OM} = \frac{BO}{ON} = \frac{CO}{OP} = \frac{2}{1}$

Пример

Пример 1. На одной стороне угла отложены три равных отрезка по 3 см. Через их концы проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла. Найдите длину среднего отрезка, отсечённого на второй стороне, если крайние точки делят её на отрезки 2 см и 4 см.

Дано: на первой стороне три равных отрезка по 3 см; на второй стороне крайние отсечённые отрезки равны 2 см и 4 см.

Формула: по теореме Фалеса параллельные прямые отсекают на второй стороне равные отрезки.

Подстановка: так как на первой стороне отрезки равны, то и на второй все три отрезка равны. Но крайние равны 2 см и 4 см — противоречие, значит условие некорректно. Корректная постановка: если на первой стороне отрезки равны, то на второй они тоже равны.

Ответ: по теореме Фалеса все отсечённые на второй стороне отрезки равны между собой.

Пример 2. Параллельные прямые пересекают стороны угла. На одной стороне отсечены отрезки $AB = 4$ см и $BC = 6$ см. На другой стороне отрезку $AB$ соответствует отрезок $A_1B_1 = 2$ см. Найдите $B_1C_1$.

Дано: $AB = 4$ см, $BC = 6$ см, $A_1B_1 = 2$ см.

Формула: $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A_1B_1}{B_1C_1}$.

Подстановка: $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{B_1C_1} \Rightarrow B_1C_1 = \dfrac{2 \cdot 6}{4} = 3$ см.

Ответ: $B_1C_1 = 3$ см.

Пример 3. В треугольнике $ABC$ медианы пересекаются в точке $O$. Медиана $AM = 12$ см. Найдите $AO$.

Дано: $AM = 12$ см — медиана, $O$ — точка пересечения медиан.

Формула: центроид делит медиану в отношении $2:1$ от вершины: $AO : OM = 2 : 1$.

Подстановка: $AO = \dfrac{2}{3} \cdot AM = \dfrac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см.

Ответ: $AO = 8$ см.

Пример 4. Точка $A(3; 2)$ отражена центрально относительно начала координат $O(0; 0)$. Найдите координаты образа $A_1$.

Дано: $A(3; 2)$, центр симметрии — начало координат.

Формула: при центральной симметрии относительно начала координат обе координаты меняют знак: $A(x; y) \to A_1(-x; -y)$.

Подстановка: $A_1(-3; -2)$.

Ответ: $A_1(-3; -2)$.

Важно

⚠️ Типичная ошибка: применять теорему Фалеса к непараллельным прямым. Теорема работает только для параллельных прямых, пересекающих стороны угла. Если прямые не параллельны, отрезки не будут равны (или пропорциональны).

⚠️ Важно: теорема Фалеса — частный случай теоремы о пропорциональных отрезках (когда коэффициент пропорциональности равен 1). Не путать: Фалес даёт равенство отрезков, обобщение — пропорциональность.

⚠️ Важно: центр масс делит медиану в отношении $2:1$ от вершины, а не пополам. Точка пересечения медиан не является серединой медианы.

⚠️ Важно: центральная симметрия — это поворот на $180^\circ$, а не отражение в зеркале (осевая симметрия). При центральной симметрии фигура не «переворачивается» зеркально, а поворачивается на пол-оборота.