Тригонометрия острого угла

Определения

В прямоугольном треугольнике для острого угла $\alpha$:

$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

$\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

$\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

📌 Синус, косинус и тангенс зависят только от угла, а не от размеров треугольника.

Основное тригонометрическое тождество

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Это тождество верно для любого угла $\alpha$ и позволяет находить синус по косинусу и наоборот.

Значения для специальных углов

Угол $\alpha$	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\tan \alpha$
$30^\circ$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$45^\circ$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60^\circ$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

💡 Как запомнить: в строке $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ синусы идут по возрастанию: $\frac{1}{2} \to \frac{\sqrt{2}}{2} \to \frac{\sqrt{3}}{2}$, косинусы — по убыванию.

Применение

Тригонометрия позволяет находить стороны прямоугольного треугольника по углу и одной стороне:

• Катет $a = c \cdot \sin \alpha$ (противолежащий);
• Катет $b = c \cdot \cos \alpha$ (прилежащий);
• Катет $a = b \cdot \tan \alpha$.

Примеры задач с решением

Пример 1. В прямоугольном треугольнике $\alpha = 30^\circ$, гипотенуза $c = 10$. Найти противолежащий катет $a$.

Дано: $\alpha = 30^\circ$, $c = 10$

Формула: $a = c \cdot \sin \alpha$

Подстановка: $a = 10 \cdot \dfrac{1}{2} = 5$

Ответ: $a = 5$.

Пример 2. Катеты 3 и 4. Найти тангенс угла $\alpha$ напротив катета 3.

Дано: противолежащий катет $= 3$, прилежащий $= 4$

Формула: $\tan \alpha = \dfrac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}$

Подстановка: $\tan \alpha = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$

Ответ: $\tan \alpha = 0{,}75$.