Площади фигур: повторение

Площадь треугольника

Площадь треугольника можно найти несколькими способами:

$S = \frac{1}{2} b h$

$S = \frac{1}{2} a b \sin C$

Формула Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

Пример: Найти площадь треугольника с основанием $b = 8$ и высотой $h = 5$.

Дано: $b = 8$, $h = 5$

Формула: $S = \frac{1}{2} b h$

Подстановка: $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20$

Ответ: $S = 20$.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма:

$S = b h = a b \sin \alpha$

Пример: Найти площадь параллелограмма со сторонами $a = 6$, $b = 10$ и углом $\alpha = 30^\circ$ между ними.

Дано: $a = 6$, $b = 10$, $\alpha = 30^\circ$

Формула: $S = a b \sin \alpha$

Подстановка: $S = 6 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30$

Ответ: $S = 30$.

Площадь трапеции

Площадь трапеции:

$S = \frac{1}{2}(a + b) h$

Пример: Найти площадь трапеции с основаниями $a = 5$, $b = 9$ и высотой $h = 4$.

Дано: $a = 5$, $b = 9$, $h = 4$

Формула: $S = \frac{1}{2}(a + b) h$

Подстановка: $S = \frac{1}{2} \cdot (5 + 9) \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 4 = 28$

Ответ: $S = 28$.

Площадь многоугольников

Площадь произвольного многоугольника можно найти разбиением на треугольники (триангуляция). Для правильного многоугольника:

$S = \frac{1}{2} P r$

где $P$ — периметр, $r$ — радиус вписанной окружности (апофема).

Площадь круга и его частей

Площадь круга: $S = \pi R^2$

Площадь сектора: $S_{sector} = \frac{\pi R^2 n}{360^\circ}$

Площадь сегмента: $S_{segment} = S_{sector} - S_{triangle}$

Обозначения

Символ	Название	Описание
$S$	Площадь	Площадь фигуры
$a, b, c$	Стороны	Длины сторон фигуры
$h$	Высота	Высота, опущенная на основание
$R$	Радиус	Радиус окружности
$\alpha$	Угол	Угол между сторонами
$P$	Периметр	Сумма длин всех сторон
$p$	Полупериметр	Половина периметра

Пример 1. Комбинированная фигура

Прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 8$, $BC = 6$. Внутри прямоугольника вырезан круг радиуса $R = 2$. Найти площадь оставшейся части.

Дано: $AB = 8$, $BC = 6$, $R = 2$

Формула: $S_{ост} = S_{прям} - S_{круга} = a b - \pi R^2$

Подстановка: $S_{ост} = 8 \cdot 6 - \pi \cdot 2^2 = 48 - 4\pi$

Ответ: $S_{ост} = 48 - 4\pi \approx 35.44$.

Пример 2. Трапеция с треугольником

Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = 12$, $BC = 6$ и высотой $h = 5$. Внутри трапеции построен треугольник $ABD$ (с вершинами в точках $A$, $B$, $D$). Найти площадь треугольника $ABD$.

Дано: $AD = 12$, $BC = 6$, $h = 5$

Формула: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h$

Подстановка: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$

Ответ: $S_{ABD} = 30$.

Пример 3. [ОГЭ ФИПИ] Заштрихованная область

На клетчатой бумаге изображён квадрат со стороной 8. Внутри квадрата нарисована окружность, касающаяся всех сторон квадрата (вписанная окружность). Найти площадь заштрихованной части (части квадрата вне круга).

Дано: сторона квадрата $a = 8$, радиус вписанной окружности $R = a/2 = 4$

Формула: $S_{заштр} = S_{кв} - S_{кр} = a^2 - \pi R^2$

Подстановка: $S_{заштр} = 8^2 - \pi \cdot 4^2 = 64 - 16\pi$

Ответ: $S_{заштр} = 64 - 16\pi \approx 13.73$.

Пример 4. [ОГЭ ФИПИ] Сектор и треугольник

Дан круг радиуса $R = 10$. В круге вырезан сектор с центральным углом $n = 60^\circ$. Найти площадь оставшейся части круга.

Дано: $R = 10$, $n = 60^\circ$

Формула: $S_{ост} = S_{кр} - S_{сект} = \pi R^2 - \frac{\pi R^2 n}{360^\circ}$

Подстановка: $S_{ост} = \pi \cdot 100 - \frac{\pi \cdot 100 \cdot 60}{360} = 100\pi - \frac{6000\pi}{360} = 100\pi - \frac{50\pi}{3} = \frac{300\pi - 50\pi}{3} = \frac{250\pi}{3}$

Ответ: $S_{ост} = \frac{250\pi}{3} \approx 261.8$.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка: забывают вычитать площадь вырезанной части. В задачах на «площадь заштрихованной области» всегда определяй, из площади какой фигуры какую нужно вычесть.

⚠️ Важно: следи за единицами измерения! Если стороны даны в сантиметрах, площадь будет в квадратных сантиметрах. Не смешивай метры и сантиметры в одной задаче.